Најважније из лекције
- Исти знак: збир задржава тај знак, а апсолутне вредности сабирамо (нпр. \( -5{,}3 + (-2{,}25) = -7{,}55 \)).
- Различит знак: збир добија знак сабирка са већом апсолутном вредношћу, а апсолутне вредности одузимамо. Ако су једнаке, збир је \( 0 \).
- Одузимање се своди на сабирање супротног броја: \( a - b = a + (-b) \).
- Бројеве у различитим записима прво преведемо у исти запис; ако децимала није коначна, рачунамо преко разломака.
- Особине: \( a + 0 = a \) (неутрални елемент), \( a + (-a) = 0 \) (супротни елемент), \( a + b = b + a \) (комутативност), \( (a+b)+c = a+(b+c) \) (асоцијативност).
- Сабирање је увек изводљиво у скупу рационалних бројева — збир је увек рационалан број.
Рационалне бројеве записујемо разломком или децималним записом (нпр. стање на банковном рачуну). Негативан број означава дуг, а позитиван уплату.
Збир два рационална броја истог знака јесте рационалан број који има тај исти знак. Апсолутна вредност збира једнака је збиру апсолутних вредности сабирака.
Сабирање бројева истог знака:
\[ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \]
\[ -5{,}3 + (-2{,}25) = -(5{,}3 + 2{,}25) = -7{,}55 \]
\[ \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} \]
Збир два рационална броја различитог знака јесте рационалан број који има знак оног сабирка чија је апсолутна вредност већа. Апсолутна вредност збира једнака је разлици апсолутних вредности сабирака (од веће одузмемо мању). Ако два броја различитог знака имају једнаке апсолутне вредности, њихов је збир нула.
Подсећање: сабирак \(+\) позитиван број даје већи број, а сабирак \(+\) негативан број даје мањи број.
Сабирање бројева различитог знака:
\[ -\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = -\left(\frac{6}{10} - \frac{5}{10}\right) = -\frac{1}{10} \quad \left(\text{јер је } \left|-\tfrac{3}{5}\right| > \left|\tfrac{1}{2}\right|\right) \]
\[ 3{,}5 + (-3{,}8) = -(3{,}8 - 3{,}5) = -0{,}3 \quad (\text{јер је } |-3{,}8| > |3{,}5|) \]
Разлика рационалног броја \( a \) и рационалног броја \( b \) јесте рационалан број који је једнак збиру броја \( a \) и броја супротног броју \( b \):
\[ a - b = a + (-b) \]
Одузимање тако увек своди на сабирање: уместо да одузмемо број, додамо његов супротан број.
\[ \frac{3}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} + \left(-\frac{4}{7}\right) = -\frac{1}{7} \]
\[ -2{,}7 - 1{,}8 = -2{,}7 + (-1{,}8) = -(2{,}7 + 1{,}8) = -4{,}5 \]
Ако сабирамо (или одузимамо) бројеве који су дати у различитим записима (један разломком, други децимално), прво их преведемо у исти запис, а тек онда рачунамо.
Ако децимални запис једног сабирка није коначан (нпр. \( \frac{2}{3} = 0{,}666\ldots \)), онда обе бројеве запишемо у облику количника (разломком).
Негативан разломак можемо записати на више начина: \( -\dfrac{3}{5} = \dfrac{-3}{5} = \dfrac{3}{-5} \).
\[ -\frac{7}{10} + 0{,}2 = -\frac{7}{10} + \frac{2}{10} = \frac{-7+2}{10} = -\frac{5}{10} = -0{,}5 \]
Неутрални елемент. Број \( 0 \) је неутралан за сабирање: за сваки рационалан број \( a \) важи
\[ a + 0 = 0 + a = a \]
Супротни елемент. За сваки рационалан број \( a \) постоји супротан број \( -a \) тако да важи
\[ a + (-a) = -a + a = 0 \]
Комутативност. Редослед сабирака се сме заменити:
\[ a + b = b + a \]
Асоцијативност. Сабирке се сме различито груписати:
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
Комутативност и асоцијативност користимо да збир више сабирака израчунамо на најлакши начин (нпр. прво спојимо сабирке чији је збир цео број). Сабирање је увек изводљиво у скупу рационалних бројева — збир свака два рационална броја јесте рационалан број.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај: \( -4{,}7 + 4{,}7 \) и \( -1{,}3 - 1{,}5 \).
Први збир су два супротна броја, па је по особини супротног елемента:
\[ -4{,}7 + 4{,}7 = 0 \]
Код друге разлике одузимање сводимо на сабирање супротног броја (оба су негативна, дакле исти знак):
\[ -1{,}3 - 1{,}5 = -1{,}3 + (-1{,}5) = -(1{,}3 + 1{,}5) = -2{,}8 \]
Одговор: \( 0 \) и \( -2{,}8 \).
Средњи задатак: Израчунај: \( -\dfrac{3}{7} + \left(-\dfrac{4}{7}\right) \) и \( \dfrac{5}{9} - \dfrac{2}{9} \).
Први збир су два броја истог (негативног) знака и истог имениоца, па сабирамо бројиоце и задржавамо знак:
\[ -\frac{3}{7} + \left(-\frac{4}{7}\right) = -\frac{3+4}{7} = -\frac{7}{7} = -1 \]
Другу разлику рачунамо тако што одузмемо бројиоце (исти именилац):
\[ \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
Одговор: \( -1 \) и \( \dfrac{1}{3} \).
Тежак задатак: Израчунај збир различитих записа: \( \dfrac{2}{3} + 3{,}2 \). (Уколико децимални запис није коначан, рачунај преко облика количника.)
Како је \( \dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6) \) бесконачан децимални запис, оба сабирка преводимо у облик количника (разломак). Децимални број записујемо као разломак: \( 3{,}2 = \dfrac{32}{10} = \dfrac{16}{5} \).
\[ \frac{2}{3} + \frac{16}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{16 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} + \frac{48}{15} = \frac{10 + 48}{15} = \frac{58}{15} \]
Одговор: \( \dfrac{58}{15} \) (приближно \( 3{,}87 \)).
