Најважније из лекције
- Збир унутрашњих углова четвороугла је пун угао: \( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \). Изводимо га тако што дијагоналом \( AC \) четвороугао поделимо на два троугла (углови сваког су \( 180^\circ \)): \( 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \).
- Спољашњи угао четвороугла је упоредан са унутрашњим — заједно чине опружен угао: \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \) (исто и за \( \beta, \gamma, \delta \)).
- Збир спољашњих углова четвороугла је такође пун угао: \( \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \).
- Ако су познати три угла, четврти рачунамо одузимањем њиховог збира од \( 360^\circ \).
Сваки четвороугао има четири унутрашња угла. Код темена \( A, B, C, D \) означавамо их редом са \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \).
Ако четвороугао \( ABCD \) поделимо једном дијагоналом (нпр. \( AC \)), добијамо два троугла. Дијагонала \( AC \) дели угао код темена \( A \) на \( \alpha' \) и \( \alpha'' \), а угао код темена \( C \) на \( \gamma' \) и \( \gamma'' \).
Пошто је збир унутрашњих углова сваког троугла једнак \( 180^\circ \), за троугао \( ABC \) важи \( \alpha' + \beta + \gamma' = 180^\circ \), а за троугао \( ACD \) важи \( \alpha'' + \gamma'' + \delta = 180^\circ \).
Сабирањем углова оба троугла добијамо збир унутрашњих углова четвороугла:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = (\alpha' + \alpha'') + \beta + (\gamma' + \gamma'') + \delta \]
\[ = (\alpha' + \beta + \gamma') + (\alpha'' + \gamma'' + \delta) = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \]
Збир унутрашњих углова четвороугла јесте пун угао:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Задатак 2.1 (са стране). Три унутрашња угла четвороугла \( ABCD \) су \( \alpha = 71^\circ \), \( \beta = 67^\circ \) и \( \gamma = 88^\circ \). Колика је мера четвртог угла \( \delta \)?
\[ 71^\circ + 67^\circ + 88^\circ + \delta = 360^\circ \]
\[ 226^\circ + \delta = 360^\circ \implies \delta = 360^\circ - 226^\circ = 134^\circ \]
Спољашњи угао четвороугла је угао упоредан (суседан на правој) са унутрашњим углом. Добијамо га када једну страницу продужимо преко темена.
Спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао заједно чине опружен угао — њихов збир је \( 180^\circ \).
За сваки унутрашњи угао и њему одговарајући спољашњи угао важи:
\[ \alpha + \alpha_1 = \beta + \beta_1 = \gamma + \gamma_1 = \delta + \delta_1 = 180^\circ \]
Сабирањем свих четири парова (унутрашњи + спољашњи угао) добијамо \( 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \). Од тога одузмемо збир унутрашњих углова.
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) + (180^\circ - \delta) \]
\[ = 720^\circ - (\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ \]
Збир спољашњих углова четвороугла такође је пун угао:
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Задатак 2.3 (са стране). Ако су сви спољашњи углови четвороугла једнаки, сваки износи \( 360^\circ : 4 = 90^\circ \). Тада је сваки унутрашњи угао \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Три унутрашња угла четвороугла \( ABCD \) су \( \alpha = 125^\circ \), \( \beta = 55^\circ \) и \( \gamma = 100^\circ \). Одреди меру четвртог унутрашњег угла \( \delta \).
Збир унутрашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \), па је:
\[ 125^\circ + 55^\circ + 100^\circ + \delta = 360^\circ \]
\[ 280^\circ + \delta = 360^\circ \]
\[ \delta = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ \]
Одговор: \( \delta = 80^\circ \).
Средњи задатак: Могу ли унутрашњи углови неког четвороугла бити \( \alpha = 60^\circ \), \( \beta = 150^\circ \), \( \gamma = 150^\circ \) и \( \delta = 150^\circ \)?
Проверавамо да ли је њихов збир једнак \( 360^\circ \):
\[ 60^\circ + 150^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 510^\circ \]
Пошто је \( 510^\circ \neq 360^\circ \), ови углови не могу бити унутрашњи углови четвороугла.
Одговор: Не могу, јер је њихов збир \( 510^\circ \), а не \( 360^\circ \).
Одговор: Не могу, јер је њихов збир \( 510^\circ \), а не \( 360^\circ \).
Тежак задатак: Три спољашња угла четвороугла \( ABCD \) су \( \alpha_1 = 130^\circ \), \( \beta_1 = 70^\circ \) и \( \gamma_1 = 75^\circ \).
а) Одреди четврти спољашњи угао \( \delta_1 \).
б) Одреди све унутрашње углове четвороугла \( ABCD \).
а) Одреди четврти спољашњи угао \( \delta_1 \).
б) Одреди све унутрашње углове четвороугла \( ABCD \).
а) Збир спољашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \), па је:
\[ 130^\circ + 70^\circ + 75^\circ + \delta_1 = 360^\circ \]
\[ 275^\circ + \delta_1 = 360^\circ \implies \delta_1 = 360^\circ - 275^\circ = 85^\circ \]
б) Сваки унутрашњи угао и њему одговарајући спољашњи угао заједно чине опружен угао (\( 180^\circ \)):
\[ \alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \qquad \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \qquad \delta = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \]
Провера: \( 50^\circ + 110^\circ + 105^\circ + 95^\circ = 360^\circ \). \checkmark
Одговор: \( \delta_1 = 85^\circ \); \( \alpha = 50^\circ,\ \beta = 110^\circ,\ \gamma = 105^\circ,\ \delta = 95^\circ \).
Одговор: \( \delta_1 = 85^\circ \); \( \alpha = 50^\circ,\ \beta = 110^\circ,\ \gamma = 105^\circ,\ \delta = 95^\circ \).
