Најважније из лекције
- Троугаона линија је затворена изломљена линија коју чине три дужи. Она дели раван на унутрашњу и спољашњу област.
- Троугао \( \triangle ABC \) чине троугаона линија и њена унутрашња област.
- Основни елементи: темена \( A, B, C \); странице \( a, b, c \) (свака означена по темену насупрот њој); унутрашњи углови \( \alpha, \beta, \gamma \).
- Обим троугла је збир дужина његових страница: \( O = a + b + c \).
Изломљена линија јесте линија која се добија надовезивањем дужи, при чему две узастопне дужи не припадају истој правој.
Изломљене линије делимо према томе да ли су отворене или затворене и да ли имају тачку самопресека (тачку у којој линија сама себе пресеца).
| Врста изломљене линије | Особина |
|---|---|
| Отворена изломљена линија без тачке самопресека | Крајеви се не спајају; линија сама себе не пресеца. |
| Отворена изломљена линија с тачком самопресека | Крајеви се не спајају, али линија сама себе пресеца. |
| Затворена изломљена линија | Почетна и крајња тачка се поклапају (линија је затворена). |
Троугаона линија јесте затворена изломљена линија коју чине три дужи.
Свака троугаона линија дели раван на две области:
- ограничену — унутрашња област троугаоне линије;
- неограничену — спољашња област троугаоне линије.
Троугао је геометријска фигура коју чине троугаона линија и одговарајућа унутрашња област.
Ако дужи \( AB \), \( BC \) и \( CA \) чине троугаону линију, добијени троугао означавамо са \( \triangle ABC \).
Темена троугла \( ABC \) јесу тачке \( A \), \( B \) и \( C \).
Странице троугла \( ABC \) јесу дужи \( AB \), \( BC \) и \( CA \). Свака страница се означава малим словом које одговара темену насупрот њега:
- страница \( BC \) (насупрот темену \( A \)) означава се са \( a \);
- страница \( CA \) (насупрот темену \( B \)) означава се са \( b \);
- страница \( AB \) (насупрот темену \( C \)) означава се са \( c \).
Унутрашњи углови троугла \( ABC \) јесу конвексни углови \( \angle CAB \), \( \angle ABC \) и \( \angle BCA \):
- \( \angle CAB \) означава се са \( \alpha \);
- \( \angle ABC \) означава се са \( \beta \);
- \( \angle BCA \) означава се са \( \gamma \).
Углови \( \alpha \) и \( \beta \) належу на страницу \( c \), углови \( \beta \) и \( \gamma \) належу на страницу \( a \), а углови \( \alpha \) и \( \gamma \) належу на страницу \( b \).
Обим троугла јесте збир дужина страница троугла.
\[ O = a + b + c \]
Израчунавање обима троугла ако су познате дужине страница \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ a = 5\ \text{cm}, \quad b = 6\ \text{cm}, \quad c = 2\ \text{cm} \]
\[ O = a + b + c = 5\ \text{cm} + 6\ \text{cm} + 2\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Дужине страница троугла су \( 6\ \text{dm} \), \( 8\ \text{dm} \) и \( 10\ \text{dm} \). Колики је обим тог троугла?
Обим је збир дужина свих страница троугла.
\[ O = a + b + c = 6\ \text{dm} + 8\ \text{dm} + 10\ \text{dm} = 24\ \text{dm} \] Одговор: Обим троугла је \( 24\ \text{dm} \).
\[ O = a + b + c = 6\ \text{dm} + 8\ \text{dm} + 10\ \text{dm} = 24\ \text{dm} \] Одговор: Обим троугла је \( 24\ \text{dm} \).
Средњи задатак: У троуглу \( ABC \) страница \( AB \) означава се са \( c \), страница \( BC \) са \( a \), а страница \( CA \) са \( b \). Насупрот ком темену се налази страница \( b \) и који угао належе истовремено на страницу \( a \) и на страницу \( b \)?
Страница се означава малим словом које одговара темену насупрот њега. Страница \( b \) је страница \( CA \), а њено супротно теме је \( B \).
Углови који належу на страницу \( a \) су \( \beta \) и \( \gamma \); углови који належу на страницу \( b \) су \( \alpha \) и \( \gamma \).
Заједнички угао обе странице је \( \gamma \) (то јест \( \angle BCA \), код темена \( C \)).
Одговор: Страница \( b \) је насупрот темену \( B \); на обе странице \( a \) и \( b \) належе угао \( \gamma \).
Углови који належу на страницу \( a \) су \( \beta \) и \( \gamma \); углови који належу на страницу \( b \) су \( \alpha \) и \( \gamma \).
Заједнички угао обе странице је \( \gamma \) (то јест \( \angle BCA \), код темена \( C \)).
Одговор: Страница \( b \) је насупрот темену \( B \); на обе странице \( a \) и \( b \) належе угао \( \gamma \).
Тежак задатак: Обим троугла је \( 12\ \text{cm} \), а дужине страница \( a \), \( b \) и \( c \) су три узастопна природна броја. Одреди дужине страница тог троугла.
Три узастопна природна броја можемо записати као \( n \), \( n+1 \) и \( n+2 \).
Њихов збир је обим: \[ n + (n+1) + (n+2) = 12 \] \[ 3n + 3 = 12 \] \[ 3n = 9 \implies n = 3 \] Дакле странице су: \( a = 3\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( c = 5\ \text{cm} \).
Провера: \( 3 + 4 + 5 = 12\ \text{cm} \). \checkmark
Одговор: Странице троугла су \( 3\ \text{cm} \), \( 4\ \text{cm} \) и \( 5\ \text{cm} \).
Њихов збир је обим: \[ n + (n+1) + (n+2) = 12 \] \[ 3n + 3 = 12 \] \[ 3n = 9 \implies n = 3 \] Дакле странице су: \( a = 3\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( c = 5\ \text{cm} \).
Провера: \( 3 + 4 + 5 = 12\ \text{cm} \). \checkmark
Одговор: Странице троугла су \( 3\ \text{cm} \), \( 4\ \text{cm} \) и \( 5\ \text{cm} \).
