Најважније из лекције
- Симетрале сва три угла троугла секу се у једној тачки — означавамо је са \( S \).
- Тачка \( S \) једнако је удаљена од све три странице троугла: \( SD = SE = SF \).
- Уписана кружница троугла је кружница која додирује све три странице троугла; њен центар је тачка \( S \), а полупречник \( r \) је растојање од \( S \) до странице.
- Конструкција: довољно је конструисати симетрале два угла (њихов пресек је \( S \)), спустити нормалу из \( S \) на једну страницу и нацртати кружницу са центром \( S \) и тим полупречником.
- Центар уписане кружнице увек је унутар троугла. Ако је кружница уписана у троугао, троугао је описан око те кружнице. Код једнакостраничног троугла центри уписане и описане кружнице су иста тачка.
Симетрала угла је права која садржи теме угла и дели тај угао на два једнака дела.
Свака тачка на симетрали угла једнако је удаљена од оба крака тог угла. Зато, ако нека тачка припада симетрали угла, њена растојања до оба крака су једнака.
Симетрале сва три угла троугла секу се у једној тачки.
Нека су \( s_\alpha \), \( s_\beta \) и \( s_\gamma \) симетрале углова \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) троугла \( ABC \), а тачка \( S \) пресек симетрала \( s_\alpha \) и \( s_\beta \). Нека су \( D \), \( E \) и \( F \) подножја нормала из тачке \( S \) на странице \( AB \), \( BC \) и \( CA \).
Пошто \( S \) припада симетрали угла \( \alpha \), једнако је удаљена од страница \( AB \) и \( CA \), па је \( SD = SF \).
Пошто \( S \) припада симетрали угла \( \beta \), једнако је удаљена од страница \( AB \) и \( BC \), па је \( SD = SE \).
Одатле је \( SF = SE \), што значи да је тачка \( S \) једнако удаљена и од кракова угла \( \gamma \). Дакле, тачка \( S \) припада и симетрали \( s_\gamma \).
Пошто \( S \) припада симетрали угла \( \beta \), једнако је удаљена од страница \( AB \) и \( BC \), па је \( SD = SE \).
Одатле је \( SF = SE \), што значи да је тачка \( S \) једнако удаљена и од кракова угла \( \gamma \). Дакле, тачка \( S \) припада и симетрали \( s_\gamma \).
Тачка \( S \) је једнако удаљена од све три странице троугла: \( SD = SE = SF \).
Уписана кружница троугла јесте кружница која додирује све три странице троугла.
Центар уписане кружнице троугла је тачка у којој се секу симетрале углова троугла (тачка \( S \)).
Полупречник уписане кружнице троугла јесте дуж чији је један крај центар уписане кружнице, а други подножје нормале из те тачке на страницу троугла.
Центар уписане кружнице обично се обележава са \( S \), а полупречник уписане кружнице са \( r \).
Ако је кружница уписана у троугао, онда се каже да је тај троугао описан око те кружнице.
Центар уписане кружнице троугла увек припада унутрашњој области троугла (налази се унутар троугла), било да је троугао оштроугли, тупоугли или правоугли.
За конструкцију центра уписане кружнице довољно је конструисати симетрале два угла троугла (трећа симетрала пролази кроз исту тачку).
Нека је дат троугао \( ABC \). Уписану кружницу конструишемо у три корака:
| Корак | Шта радимо |
|---|---|
| 1. | Конструишемо симетрале углова \( BAC \) и \( CBA \). Њихов пресек означимо са \( S \) (то је центар уписане кружнице). |
| 2. | Конструишемо нормалу из тачке \( S \) на праву \( AB \). Подножје нормале означимо са \( D \). |
| 3. | Цртамо кружницу са центром \( S \) и полупречником \( SD \). |
У једнакостраничном троуглу центар уписане и центар описане кружнице поклапају се — то је иста тачка.
Дат је правоугли троугао \( ABC \) са правим углом код темена \( A \). Тачка \( S \) је центар уписане кружнице троугла и важи \( \angle SBA = 30^\circ \). Колики је угао \( \angle ASB \)?
Права \( AS \) је симетрала правог угла код темена \( A \), па је \( \angle BAS = 90^\circ : 2 = 45^\circ \).
Посматрамо троугао \( ABS \). Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \), па је: \[ \angle BAS + \angle SBA + \angle ASB = 180^\circ \] \[ 45^\circ + 30^\circ + \angle ASB = 180^\circ \] \[ \angle ASB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]
Права \( AS \) је симетрала правог угла код темена \( A \), па је \( \angle BAS = 90^\circ : 2 = 45^\circ \).
Посматрамо троугао \( ABS \). Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \), па је: \[ \angle BAS + \angle SBA + \angle ASB = 180^\circ \] \[ 45^\circ + 30^\circ + \angle ASB = 180^\circ \] \[ \angle ASB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Дате су две слике троугла са кружницом. На првој слици кружница се налази унутар троугла и додирује све три његове странице. На другој слици троугао се налази унутар кружнице, а сва три темена троугла припадају кружници. На којој слици је кружница уписана у троугао?
Уписана кружница троугла је она која се налази унутар троугла и додирује све три странице троугла.
То је прва слика.
На другој слици кружница пролази кроз темена троугла — то је описана кружница троугла.
Одговор: Кружница је уписана у троугао на првој слици.
То је прва слика.
На другој слици кружница пролази кроз темена троугла — то је описана кружница троугла.
Одговор: Кружница је уписана у троугао на првој слици.
Средњи задатак: Које од следећих тврђења је тачно?
а) Центар уписане кружнице троугла је пресек симетрала страница троугла.
б) Центар уписане кружнице троугла је пресек симетрала углова троугла.
в) Полупречник уписане кружнице троугла је дуж чији је један крај центар уписане кружнице, а други теме троугла.
а) Центар уписане кружнице троугла је пресек симетрала страница троугла.
б) Центар уписане кружнице троугла је пресек симетрала углова троугла.
в) Полупречник уписане кружнице троугла је дуж чији је један крај центар уписане кружнице, а други теме троугла.
Центар уписане кружнице троугла је тачка у којој се секу симетрале углова троугла (не симетрале страница — оне дају центар описане кружнице).
Полупречник уписане кружнице иде од центра до странице троугла (до подножја нормале на страницу), а не до темена.
Дакле, тачно је само тврђење под б).
Одговор: б).
Полупречник уписане кружнице иде од центра до странице троугла (до подножја нормале на страницу), а не до темена.
Дакле, тачно је само тврђење под б).
Одговор: б).
Тежак задатак: У једнакокраком троуглу \( ABC \) (где је \( AB = AC \)) углови на основици једнаки су \( 80^\circ \), а \( S \) је центар уписане кружнице троугла. Одреди меру угла \( \angle BSC \).
Углови на основици су углови код темена \( B \) и \( C \), па је \( \angle ABC = \angle ACB = 80^\circ \).
Центар уписане кружнице \( S \) лежи на симетралама углова, па праве \( BS \) и \( CS \) полове углове \( B \) и \( C \): \[ \angle SBC = 80^\circ : 2 = 40^\circ, \qquad \angle SCB = 80^\circ : 2 = 40^\circ \] Посматрамо троугао \( BSC \). Збир његових унутрашњих углова је \( 180^\circ \): \[ \angle SBC + \angle SCB + \angle BSC = 180^\circ \] \[ 40^\circ + 40^\circ + \angle BSC = 180^\circ \] \[ \angle BSC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \] Одговор: \( \angle BSC = 100^\circ \).
Центар уписане кружнице \( S \) лежи на симетралама углова, па праве \( BS \) и \( CS \) полове углове \( B \) и \( C \): \[ \angle SBC = 80^\circ : 2 = 40^\circ, \qquad \angle SCB = 80^\circ : 2 = 40^\circ \] Посматрамо троугао \( BSC \). Збир његових унутрашњих углова је \( 180^\circ \): \[ \angle SBC + \angle SCB + \angle BSC = 180^\circ \] \[ 40^\circ + 40^\circ + \angle BSC = 180^\circ \] \[ \angle BSC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \] Одговор: \( \angle BSC = 100^\circ \).
