Најважније из лекције
Описана кружница троугла пролази кроз сва три темена троугла. Њен центар \( O \) је пресек симетрала страница троугла и једнако је удаљен од сва три темена (\( OA = OB = OC = R \)). Код оштроуглог троугла центар је унутар троугла, код тупоуглог ван њега, а код правоуглог у средишту хипотенузе (па је хипотенуза пречник описане кружнице). Центар се конструише пресеком симетрала две странице.
Описана кружница троугла јесте кружница која пролази кроз сва три темена троугла (свако теме припада тој кружници).
Ако је кружница описана око троугла, онда се каже да је тај троугао уписан у ту кружницу.
Центар описане кружнице обично се означава са \( O \), а њен полупречник (растојање од центра до сваког темена) са \( R \).
Симетрала дужи је права која садржи средиште дужи и нормална је на ту дуж. Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајева те дужи.
Све три симетрале страница троугла секу се у једној тачки. Та тачка је центар описане кружнице троугла.
На слици је приказан троугао \( ABC \). Нека је \( s_{AB} \) симетрала странице \( AB \), а \( s_{BC} \) симетрала странице \( BC \), и нека је \( O \) њихов пресек. Тада важи:
- тачка \( O \) припада симетрали \( s_{AB} \), па је \( OA = OB \);
- тачка \( O \) припада симетрали \( s_{BC} \), па је \( OB = OC \).
Одатле следи да је тачка \( O \) једнако удаљена од сва три темена: \[ OA = OB = OC = R \]
Пошто је \( OA = OC \), тачка \( O \) припада и симетрали странице \( AC \). Зато се све три симетрале секу баш у тачки \( O \).
Место центра \( O \) описане кружнице зависи од тога какви су углови троугла:
| Врста троугла | Где је центар \( O \) |
|---|---|
| Оштроугли (сви углови мањи од \( 90^\circ \)) | у унутрашњој области троугла |
| Тупоугли (један угао већи од \( 90^\circ \)) | у спољашњој области троугла (ван њега) |
| Правоугли (један угао \( 90^\circ \)) | у средишту хипотенузе |
Пример 4.1 (оштроугли троугао). Код оштроуглог троугла центар \( O \) описане кружнице је унутар троугла. Дужи \( OA,\ OB,\ OC \) су полупречници описане кружнице.
Пример 4.2 (тупоугли троугао). Код тупоуглог троугла центар \( O \) описане кружнице припада спољашњој области троугла — налази се ван троугла. Дужи \( OA,\ OB,\ OC \) су и даље полупречници описане кружнице.
Пример 4.3 (правоугли троугао). Код правоуглог троугла центар \( O \) описане кружнице јесте средиште хипотенузе. Зато је хипотенуза уједно и пречник описане кружнице.
За конструкцију центра описане кружнице довољно је конструисати симетрале две странице троугла (трећа симетрала пролази кроз исту тачку).
Дат је троугао \( ABC \):
- 1. Конструиши симетрале страница \( AB \) и \( BC \). Пресек тих симетрала обележи са \( O \).
- 2. Конструиши кружницу са центром \( O \) и полупречником \( OA \). Та кружница пролази и кроз \( B \) и кроз \( C \).
Ако три насеља (нпр. Сава, Тиса и Дунав) треба да добију подједнако добар сигнал, базна станица се поставља тачно у центар кружнице описане око троугла чија су темена та три насеља. Тако је станица једнако удаљена од сва три насеља.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Полупречник описане кружнице правоуглог троугла има дужину \( 8 \text{ cm} \). Колика је дужина хипотенузе тог троугла?
Код правоуглог троугла центар описане кружнице је средиште хипотенузе, па је хипотенуза уједно пречник описане кружнице.
Пречник је два пута дужи од полупречника: \[ \text{хипотенуза} = 2 \cdot R = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm} \] Одговор: Дужина хипотенузе је \( 16 \text{ cm} \).
Пречник је два пута дужи од полупречника: \[ \text{хипотенуза} = 2 \cdot R = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm} \] Одговор: Дужина хипотенузе је \( 16 \text{ cm} \).
Средњи задатак: Центар описане кружнице троугла припада спољашњој области троугла ако је троугао: а) оштроугли; б) тупоугли; в) правоугли? Образложи.
Центар описане кружнице је унутар троугла када је он оштроугли, на самој хипотенузи када је правоугли, а ван троугла (у спољашњој области) само када је троугао тупоугли.
Одговор: под б) — тупоугли троугао.
Одговор: под б) — тупоугли троугао.
Тежак задатак: У правоуглом троуглу \( ABC \) угао код темена \( C \) је прав (\( \angle BCA = 90^\circ \)), а тачка \( O \) је центар описане кружнице. Ако је \( \angle COA = 140^\circ \), одреди оштре углове тог троугла.
Пошто је \( O \) центар описане кружнице, дужи \( OA \) и \( OC \) су полупречници, па је \( OA = OC = R \). Троугао \( OCA \) је зато једнакокраки, а његови углови на основици једнаки:
\[ \angle OAC = \angle OCA \]
Збир углова у троуглу \( OCA \) је \( 180^\circ \):
\[ \angle OAC + \angle OCA + \angle COA = 180^\circ \]
\[ 2 \cdot \angle OAC + 140^\circ = 180^\circ \implies 2 \cdot \angle OAC = 40^\circ \implies \angle OAC = 20^\circ \]
Значи угао троугла код темена \( A \) је \( \angle A = 20^\circ \). Пошто је \( \angle C = 90^\circ \), други оштри угао је:
\[ \angle B = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \]
Одговор: Оштри углови троугла су \( 20^\circ \) и \( 70^\circ \).
