Најважније из лекције
- Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \) — множитељима можемо заменити места.
- Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) — заграде можемо померати; производ три и више бројева рачунамо најзгоднијим редоследом.
- Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \); омогућава извлачење заједничког чиниоца испред заграде.
- Неутрални елемент: \( a \cdot 1 = a \) — множење бројем \( 1 \) не мења вредност.
- Производ целих бројева је увек цео број; знак: паран број негативних чинилаца → позитиван производ, непаран → негативан.
Производ два цела броја се не мења ако им заменимо места. Множитеље можемо множити било којим редоследом.
За свако \( a, b \in \mathbb{Z} \) важи: \[ a \cdot b = b \cdot a \]
\( (-7)\cdot(-3) = 21 \) и \( (-3)\cdot(-7) = 21 \), па је \[ (-7)\cdot(-3) = (-3)\cdot(-7). \]
Кад множимо три цела броја, свеједно је која два броја прво помножимо — резултат је исти. Због тога заграде можемо померати.
За свако \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) важи: \[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
\( \big(5\cdot(-6)\big)\cdot 2 = (-30)\cdot 2 = -60 \) и \( 5\cdot\big((-6)\cdot 2\big) = 5\cdot(-12) = -60 \), па је \[ \big(5\cdot(-6)\big)\cdot 2 = 5\cdot\big((-6)\cdot 2\big). \]
Захваљујући комутативности и асоцијативности, производ три (или више) целих бројева увек можемо рачунати редоследом који нам је најзгоднији.
Број који множи збир можемо помножити са сваким сабирком посебно, па добијене производе сабрати. И обрнуто — заједнички чинилац можемо извући испред заграде.
За свако \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) важи: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{и} \quad (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \]
\( 2\cdot\big(25+(-8)\big) = 2\cdot 17 = 34 \) и \( 2\cdot 25 + 2\cdot(-8) = 50 - 16 = 34 \), па је \[ 2\cdot\big(25+(-8)\big) = 2\cdot 25 + 2\cdot(-8). \]
Дистрибутивност даје одговор на питање како се заједнички чинилац извлачи испред заграде. На пример: \[ (-4)\cdot(-17) + (-4)\cdot 19 = (-4)\cdot(-17+19) = (-4)\cdot 2 = -8. \]
За свако \( a \in \mathbb{Z} \) важи \[ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a. \] Каже се да је број \( 1 \) неутрални елемент за множење — множење бројем \( 1 \) не мења вредност.
\( (-7)\cdot 1 = -7 \); \quad \( 1 \cdot 1006 = 1006 \).
Производ целих бројева је увек цео број: за свако \( a, b \in \mathbb{Z} \) важи \( a \cdot b \in \mathbb{Z} \).
Знак производа зависи од броја негативних чинилаца:
- Производ парног броја негативних чинилаца је позитиван.
- Производ непарног броја негативних чинилаца је негативан.
Користећи све особине, згодним редоследом рачунамо: \[ 4\cdot 87\cdot(-25)\cdot 7 = \big(4\cdot(-25)\big)\cdot 87\cdot 7 = (-100)\cdot 87\cdot 7 = -8700\cdot 7 = -60\,900. \]
Овде је један (непаран број) негативан чинилац, па је производ негативан.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Изврши множење и провери комутативност: колико је \( (-8)\cdot(-5) \), а колико \( (-5)\cdot(-8) \)?
\( (-8)\cdot(-5) = 40 \) (два негативна чиниоца — паран број, производ је позитиван).
\( (-5)\cdot(-8) = 40 \).
Дакле \( (-8)\cdot(-5) = (-5)\cdot(-8) \), што потврђује комутативност.
Одговор: оба производа су \( 40 \).
\( (-5)\cdot(-8) = 40 \).
Дакле \( (-8)\cdot(-5) = (-5)\cdot(-8) \), што потврђује комутативност.
Одговор: оба производа су \( 40 \).
Средњи задатак: Издвој заједнички чинилац испред заграде, па израчунај: \( (-3)\cdot 45 + (-3)\cdot(-100) \).
Заједнички чинилац је \( -3 \), па га извлачимо испред заграде (дистрибутивност):
\[ (-3)\cdot 45 + (-3)\cdot(-100) = (-3)\cdot\big(45 + (-100)\big) = (-3)\cdot(-55). \]
Два негативна чиниоца дају позитиван производ: \( (-3)\cdot(-55) = 165 \).
Одговор: \( 165 \).
Одговор: \( 165 \).
Тежак задатак: Погодним редоследом (комутативност и асоцијативност) израчунај: \( 50\cdot(-6)\cdot(-20)\cdot 2 \).
Прегруписавамо чиниоце тако да прво помножимо оне који дају округле бројеве:
\[ 50\cdot(-6)\cdot(-20)\cdot 2 = \big(50\cdot 2\big)\cdot\big((-6)\cdot(-20)\big) = 100\cdot 120. \]
\[ 100\cdot 120 = 12\,000. \]
Негативних чинилаца има два (паран број), па је производ позитиван.
Одговор: \( 12\,000 \).
Одговор: \( 12\,000 \).
