Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 12
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 12, страна 7\[ (5x + 4y)^2 - (3x - 3y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2 - (9x^2 - 18xy + 9y^2) \]\[ = 25x^2 + 40xy + 16y^2 - 9x^2 + 18xy - 9y^2 \]\[ = 16x^2 + 58xy + 7y^2 \]Тачан одговор: други кружић, \( 16x^2 + 58xy + 7y^2 \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 12, страна 7
Квадрат збира
Први квадрат развијамо по формули \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где је \( a = 5x \) и \( b = 4y \): \[ (5x + 4y)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 4y + (4y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2 \]Квадрат разлике
Други квадрат развијамо по формули \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где је \( a = 3x \) и \( b = 3y \): \[ (3x - 3y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 3y + (3y)^2 = 9x^2 - 18xy + 9y^2 \]Одузимање полинома
Од првог полинома одузимамо други. Пошто испред заграде стоји минус, свим члановима у загради мењамо знак: \[ (5x + 4y)^2 - (3x - 3y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2 - (9x^2 - 18xy + 9y^2) \] \[ = 25x^2 + 40xy + 16y^2 - 9x^2 + 18xy - 9y^2 \] Групишемо и сабирамо сличне мономе: \[ = (25 - 9)x^2 + (40 + 18)xy + (16 - 9)y^2 = 16x^2 + 58xy + 7y^2 \]Провера помоћу разлике квадрата
Исти резултат добијамо и по формули \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (5x + 4y - 3x + 3y)(5x + 4y + 3x - 3y) = (2x + 7y)(8x + y) \] \[ = 16x^2 + 2xy + 56xy + 7y^2 = 16x^2 + 58xy + 7y^2 \] Датом изразу једнак је израз \( 16x^2 + 58xy + 7y^2 \), па бојимо други кружић.Кратак запис решења:
\( 25x^2 + 40xy + 16y^2 - 9x^2 + 18xy - 9y^2 = 16x^2 + 58xy + 7y^2 \)
Други кружић.
