Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 18
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
\( a \) - страница травњака (у m), \( a + 2 \cdot 2{,}5 = a + 5 \) - страница спољашњег квадрата
\( P = a^2 \)\[ (a + 5)^2 - a^2 = 245 \]\[ \cancel{a^2} + 10a + 25 - \cancel{a^2} = 245 \]\[ 10a = 245 - 25 = 220 \]\[ a = 220 : 10 = 22\text{ m} \]\[ P = a^2 = 22^2 = 484\text{ m}^2 \]
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
Нацртати мањи квадрат (травњак), осенчен, и око њега већи квадрат са истим средиштем и паралелним страницама, тако да између њих остане бели оквир (стаза) исте ширине са све четири стране. Страницу травњака означити са a. На све четири стране оквира уписати ширину стазе 2,5 m. Страницу спољашњег квадрата означити са a + 5 m.
Скица травњака и стазе
Нацртати мањи квадрат (травњак), осенчен, и око њега већи квадрат са истим средиштем и паралелним страницама, тако да између њих остане бели оквир (стаза) исте ширине са све четири стране. Страницу травњака означити са a. На све четири стране оквира уписати ширину стазе 2,5 m. Страницу спољашњег квадрата означити са a + 5 m.
Страница спољашњег квадрата
Страницу травњака означимо са \( a \) (у метрима). Стаза је широка \( 2{,}5\text{ m} \) са обе стране травњака, па је страница спољашњег квадрата (травњак заједно са стазом): \[ a + 2 \cdot 2{,}5 = a + 5 \]Површина стазе
Површина стазе једнака је разлици површина спољашњег квадрата и травњака. Површина квадрата странице \( a \) је \( P = a^2 \), па је: \[ P_{\text{стазе}} = (a + 5)^2 - a^2 \] Знамо да је површина стазе \( 245\text{ m}^2 \), па добијамо једначину: \[ (a + 5)^2 - a^2 = 245 \]Решавање једначине
Квадрат збира развијамо по формули \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), а затим потиремо супротне чланове \( a^2 \) и \( -a^2 \): \[ \cancel{a^2} + 10a + 25 - \cancel{a^2} = 245 \] \[ 10a + 25 = 245 \] \[ 10a = 245 - 25 \] \[ 10a = 220 \] \[ a = 220 : 10 = 22 \] Страница травњака је \( 22\text{ m} \).Површина травњака
\[ P = a^2 = (22\text{ m})^2 = 484\text{ m}^2 \] Провера: страница спољашњег квадрата је \( 22 + 5 = 27\text{ m} \), па је површина стазе \( 27^2 - 22^2 = 729 - 484 = 245\text{ m}^2 \), што се слаже са подацима. Површина травњака је \( 484\text{ m}^2 \).Кратак запис решења:
\( (a + 5)^2 - a^2 = 245 \)
\( 10a + 25 = 245 \Rightarrow 10a = 220 \Rightarrow a = 22\text{ m} \)
\( P = 22^2 = 484\text{ m}^2 \)
