4. Пробни завршни испит 2025 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10

Скица са ознакама

Нацртати квадрат ABCD (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево) и његову дијагоналу BD танком испрекиданом линијом; средиште квадрата (пресек дијагонала) означити са O и уз дијагоналу BD написати 8 cm. Око темена D и B нацртати два подударна велика круга полупречника R = 4 cm, који се додирују у тачки O. Око темена C и A нацртати два подударна мала круга полупречника r. На страници CD означити тачку M, а на страници BC тачку N - у њима мали круг са центром C додирује велике кругове (уписати DM = 4 cm и BN = 4 cm). Слично, на страницама AD и AB означити тачке Q и P у којима мали круг са центром A додирује велике кругове. Осенчити две криволинијске фигуре унутар квадрата које не припадају ниједном кругу: фигуру OMN уз теме C (ограничену луком OM великог круга са центром D, луком MN малог круга са центром C и луком NO великог круга са центром B) и њој симетричну фигуру OQP уз теме A. Код темена D означити угао од 45° између DC и DB, код темена B угао од 45° између BC и BD, а код темена C прав угао.

Страница квадрата

Дијагонала квадрата странице \( a \) је \( d = a\sqrt{2} \). Из \( a\sqrt{2} = 8 \) добијамо (рационалишемо именилац): \[ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\cancel{8}^{4}\sqrt{2}}{\cancel{2}_{1}} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \]

Полупречници кругова

Велики кругови имају центре у теменима D и B и додирују се у средишту квадрата O, па је полупречник великог круга једнак половини дијагонале: \[ R = DO = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm} \] Тачка M на страници CD припада и великом кругу са центром D и малом кругу са центром C. Зато је \( DM = R = 4\text{ cm} \), а полупречник малог круга је остатак странице: \[ r = CM = CD - DM = (4\sqrt{2} - 4)\text{ cm} \]

Од чега се састоји обим осенчене фигуре

Осенчена фигура састоји се од два подударна дела (симетрична су у односу на тачку O), па рачунамо обим дела уз теме C и множимо га са 2. Тај део ограничавају три лука: - лук OM великог круга са центром D; његов централни угао је \( \angle CDB = 45^\circ \), јер дијагонала квадрата полови прав угао; - лук NO великог круга са центром B; његов централни угао је \( \angle CBD = 45^\circ \); - лук MN малог круга са центром C; његов централни угао је прав угао квадрата \( \angle DCB = 90^\circ \). Дужину лука рачунамо по формули: \[ l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ} \]

Дужине лукова

Лукови великих кругова су једнаки: \[ l_1 = l_2 = \frac{R\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \frac{4\pi \cdot \cancel{45^\circ}^{1}}{\cancel{180^\circ}_{4}} = \frac{\cancel{4}\pi}{\cancel{4}} = \pi\text{ cm} \] Лук малог круга: \[ l_3 = \frac{r\pi \cdot \cancel{90^\circ}^{1}}{\cancel{180^\circ}_{2}} = \frac{(4\sqrt{2} - 4)\pi}{2} = (2\sqrt{2} - 2)\pi\text{ cm} \]

Обим осенчене фигуре

Обим једног дела: \[ O_1 = l_1 + l_2 + l_3 = \pi + \pi + (2\sqrt{2} - 2)\pi = \cancel{2\pi} + 2\sqrt{2}\pi - \cancel{2\pi} = 2\sqrt{2}\pi\text{ cm} \] Осенчена фигура има два таква дела: \[ O = 2 \cdot O_1 = 2 \cdot 2\sqrt{2}\pi = 4\sqrt{2}\pi\text{ cm} \] Обим осенчене фигуре је \( 4\sqrt{2}\pi\text{ cm} \).

\( a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \), \( R = 4\text{ cm} \), \( r = (4\sqrt{2} - 4)\text{ cm} \) \( l_1 = l_2 = \frac{4\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \pi \), \( l_3 = \frac{(4\sqrt{2} - 4)\pi}{2} = (2\sqrt{2} - 2)\pi \) \( O = 2(\pi + \pi + (2\sqrt{2} - 2)\pi) = 2 \cdot 2\sqrt{2}\pi = 4\sqrt{2}\pi\text{ cm} \)