Пробни завршни испит 2025 - математика - решења

Question 1

Задатак 1 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 1, страна 3
Висина грба изражена преко дужине A
Висину грба означавамо са $ h $. На нацрту је цела висина грба (од врха круне до дна штита) котирана као $ \frac{1}{2}A $.
Проверићемо то и помоћу висине заставе: застава је висока $ \frac{2}{3}A $, од горње ивице заставе до врха круне има $ \frac{1}{18}A $, а од дна штита до доње ивице заставе $ \frac{1}{9}A $. Од висине заставе одузимамо та два дела, па све разломке проширујемо на заједнички именила...

Question 2

Задатак 2 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 2, страна 3
Дужина пута од Ниша до Београда
Означимо са $ s_1 $ дужину пута од Ниша до Београда, а са $ s_2 $ дужину пута у повратку.
Од Ниша до Београда Васка је прешла шест деоница: $ 72\text{ km} $, $ 41\text{ km} $, $ 24\text{ km} $, $ 54\text{ km} $, $ 52\text{ km} $ и $ 75\text{ km} $. Сабирамо их, а да бисмо лакше рачунали, сабирамо их у паровима:
$$ s_1 = 72 + 41 + 24 + 54 + 52 + 75 = 113 + 78 + 127 = 191 + 127 = 318\text{ km} $$

Раз...

Question 3

Задатак 3 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 3, страна 4
Замена $ N = 3 $ у формулу
На трећем нивоу је $ N = 3 $, па у израз $ 3N^3 - 4N^2 + 7 $ уместо $ N $ замењујемо број 3:
$$ 3 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 7 $$

Израчунавање степена
Поштујемо редослед рачунских операција, па прво израчунавамо степене:
$$ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27, \quad 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 $$

Множење, затим одузимање и сабирање
Сада множимо, а затим одузимамо и сабирамо редом слева надесно:
\[ 3 \cdot 27 - 4 \cdot 9 + 7 =...

Question 4

Задатак 4 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 4, страна 4
Шта проверавамо
Израз је једнак изразу $ 3x^2 $ за сваку вредност променљиве $ x $ ако се сређивањем (сабирањем сличних монома или множењем монома) своди тачно на $ 3x^2 $. Сређујемо сваки понуђени израз редом.

Први израз
Он садржи моном са $ x^4 $ и моном са $ x^2 $. То нису слични мономи, па се не могу сабрати у један моном и израз се не своди на $ 3x^2 $. На пример, за $ x = 2 $ добијамо $ 4 \cdot 2^4 - 2^2 = 64 - 4 = 60 $, а...

Question 5

Задатак 5 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 5, страна 4
Скица контејнера
Нацртати квадар у косој пројекцији (невидљиве ивице испрекидане). Дужину основе означити са a = 4 dm, ширину основе са b = 2 dm, а висину квадра са c = 1,5 dm.

Формула за запремину квадра
Колико уља стане у контејнер одређује његова запремина. Запремина квадра једнака је производу дужина његове три ивице:
$$ V = a \cdot b \cdot c $$
где су $ a = 4\text{ dm} $, $ b = 2\text{ dm} $ и $ c = 1{,}5\text{ dm} $. Све ивице су у д...

Question 6

Задатак 6 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 6, страна 5
Када су делови подударни
Два дела су подударна ако имају исти облик и исту величину, тј. ако се могу потпуно преклопити. Танграм је квадрат странице 16 поља мреже. Сви троуглови танграма су једнакокрако-правоугли (углови $ 45^\circ $, $ 45^\circ $ и $ 90^\circ $), јер им странице иду или дуж линија мреже или дијагонално кроз поља мреже, под углом од $ 45^\circ $. Зато два таква троугла поредимо по дужини хипотенузе: ако су хипотенузе једн...

Question 7

Задатак 7 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 7, страна 5
Претварање километара у центиметре
Понуђени одговори су у центиметрима, па пређени пут $ 3{,}6\text{ km} $ претварамо у центиметре. Знамо да је $ 1\text{ km} = 1\,000\text{ m} $ и $ 1\text{ m} = 100\text{ cm} $, тј. $ 1\text{ km} = 100\,000\text{ cm} $:
$$ 3{,}6\text{ km} = 3{,}6 \cdot 100\,000\text{ cm} = 360\,000\text{ cm} $$

Просечна дужина корака
Нина је тај пут прешла у $ 6\,000 $ корака. Просечну дужину корака $ d $ добијамо ка...

Question 8

Задатак 8 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 8, страна 5
Услови које седишта морају да испуне
Четворо пријатеља жели да седи у истом реду, једно поред другог. Зато тражимо четири седишта која:
- су у истом реду (иста римска цифра у ознаци),
- имају четири узастопна броја (нпр. 5, 6, 7, 8),
- су сва четири слободна.

Провера истог реда
У три понуђена одговора седишта су из различитих редова (ознаке почињу различитим римским бројевима, нпр. III, IV, V, VI), па их одмах одбацујемо. Остају три понуђена одг...

Question 9

Задатак 9 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 9, страна 6
Шта приказује табела
Графикон приказује колико је голова Србија постигла у свакој четвртини: 5, 3, 3 и 2 гола. Табела приказује резултат на крају сваке четвртине, тј. укупан број голова од почетка утакмице. Зато се у табели сваки следећи број добија када претходном додамо голове постигнуте у тој четвртини:
$$ 5 + 3 = 8, \quad 8 + 3 = 11 $$
То се слаже са бројевима 8 и 11 у реду Србије у табели.

Израчунавање $ x $
У четвртој четвртини Србија је...

Question 10

Задатак 10 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 10, страна 6
Број $ A $
Прво разломак $ -\frac{7}{5} $ записујемо као децимални број:
$$ -\frac{7}{5} = -1{,}4 $$
Тражимо најмањи цео број који је већи од $ -1{,}4 $. На бројевној правој број $ -1{,}4 $ налази се између $ -2 $ и $ -1 $. Број $ -2 $ није већи од $ -1{,}4 $, јер је $ -2 \lt -1{,}4 $. Цели бројеви већи од $ -1{,}4 $ су $ -1, 0, 1, 2, \ldots $, а најмањи међу њима је $ -1 $:
$$ A = -1 $$

Број $ B $
Апсолутна вредност н...

Question 11

Задатак 11 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 11, страна 7
Број потребних повратних карата
Јелена сваког викенда једном путује до тетке и назад, па за сваки викенд треба једна повратна карта. Година 2024. имала је 52 викенда, па јој је потребно 52 повратне карте.

Број бесплатних карата
По понуди, за сваке три купљене повратне карте четврта је бесплатна. Карте зато посматрамо у групама од по 4 карте (3 купљене и 1 бесплатна). Делимо број потребних карата са 4:
$$ 52 : 4 = 13 $$
Има 13 таквих група, па ј...

Question 12

Задатак 12 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 12, страна 7
Квадрат збира
Први квадрат развијамо по формули $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, где је $ a = 5x $ и $ b = 4y $:
$$ (5x + 4y)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 4y + (4y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2 $$

Квадрат разлике
Други квадрат развијамо по формули $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где је $ a = 3x $ и $ b = 3y $:
$$ (3x - 3y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 3y + (3y)^2 = 9x^2 - 18xy + 9y^2 $$

Одузимање полинома
Од првог полинома одузимамо...

Question 13

Задатак 13 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
Скица са ознакама
Нацртати правоугли троугао ABC са правим углом у темену A: A доле лево, B доле десно, C горе, катета AC вертикална и знатно дужа од хоризонталне катете AB. Унутар троугла нацртати правоугаоник ANMK тако да је теме N на катети AB (близу темена B), теме M на хипотенузи BC, а теме K на катети AC (KM је паралелно са AB, MN паралелно са AC). Унутар правоугаоника означити праве углове у теменима A, K и M. Код темена M, изнад дужи KM,...

Question 14

Задатак 14 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 14, страна 8
Скица пирамиде
Нацртати четворострану пирамиду ABCDS у косој пројекцији: основа је квадрат ABCD (A доле лево напред, B доле десно напред, C позади десно, D позади лево; невидљиве ивице AD, DC и DS испрекидане), а S је врх пирамиде изнад средишта основе. Поред основне ивице AB написати a = 8 cm, а поред бочне ивице SB написати s = 8 cm. Једну бочну страну, на пример SBC, благо осенчити као једнакостранични троугао.

Шта значи једнакоивична пирами...

Question 15

Задатак 15 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 15, страна 8
Превођење свих маса у граме
Масе су дате у различитим јединицама, па их прво изражавамо у истој јединици, у грамима. Користимо да је $ 1\text{ kg} = 1\,000\text{ g} $:
$$ \text{ној: } 1\text{ kg } 800\text{ g} = 1\,000\text{ g} + 800\text{ g} = 1\,800\text{ g} $$
$$ \text{кокошка: } 0{,}058\text{ kg} = 0{,}058 \cdot 1\,000\text{ g} = 58\text{ g} $$
$$ \text{гуска: } 215\text{ g} $$
\[ \text{препелица: } 0{,}012\text{ kg} = 0{,}012 \cdot 1\,000...

Question 16

Задатак 16 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 16, страна 8
Повећање продаје
Прошлог месеца продато је $ 2\,400 $ векни. Повећање износи $ 12{,}5\,\% $ од тог броја. Проценат претварамо у разломак са имениоцем 100 и скраћујемо:
$$ 12{,}5\,\% \text{ од } 2\,400 = \frac{12{,}5}{\cancel{100}_{1}} \cdot \cancel{2\,400}^{24} = 12{,}5 \cdot 24 = 300 $$
Продаја је порасла за 300 векни.

Продаја овог месеца
На продају из прошлог месеца додајемо повећање:
$$ 2\,400 + 300 = 2\,700 $$
Овог месеца продато је \(...

Question 17

Задатак 17 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 17, страна 9
Најмањи број облика $ \overline{A4B} $ дељив са 2 и са 9
Број је дељив са 2 ако му је последња цифра парна, па $ B $ мора бити парна цифра. Број је дељив са 9 ако му је збир цифара дељив са 9, па $ A + 4 + B $ мора бити дељиво са 9.
Број је троцифрен, па је $ A \neq 0 $. Да би број био што мањи, узимамо најмању могућу цифру стотина $ A = 1 $. Тада је збир цифара $ 1 + 4 + B = 5 + B $. Пошто је $ B $ цифра, $ 5 + B $ је између 5 и...

Question 18

Задатак 18 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
Скица травњака и стазе
Нацртати мањи квадрат (травњак), осенчен, и око њега већи квадрат са истим средиштем и паралелним страницама, тако да између њих остане бели оквир (стаза) исте ширине са све четири стране. Страницу травњака означити са a. На све четири стране оквира уписати ширину стазе 2,5 m. Страницу спољашњег квадрата означити са a + 5 m.

Страница спољашњег квадрата
Страницу травњака означимо са $ a $ (у метрима). Стаза је широка \(...

Question 19

Задатак 19 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
Скица са ознакама
Нацртати квадрат ABCD (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево) и његову дијагоналу BD танком испрекиданом линијом; средиште квадрата (пресек дијагонала) означити са O и уз дијагоналу BD написати 8 cm. Око темена D и B нацртати два подударна велика круга полупречника R = 4 cm, који се додирују у тачки O. Око темена C и A нацртати два подударна мала круга полупречника r. На страници CD означити тачку M, а на страни...

Question 20

Задатак 20 - Пробни завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
Скица са ознакама
Нацртати правилну четворострану призму ABCDEFGH: доња основа је квадрат ABCD, горња основа квадрат EFGH (E изнад A, F изнад B, G изнад C, H изнад D); невидљиве ивице цртати испрекидано. Ивицу основе AB означити са a, а бочну ивицу DH (висину призме) са h. Повући дијагоналу основе BD и телесну дијагоналу BH и осенчити троугао BDH. Уз дуж BD написати a√2. У троуглу BDH код темена D означити прав угао, а код темена B угао од 60°...

4. Пробни завршни испит 2025 - математика - решења

Изабери решење задатка:

Услови које седишта морају да испуне

Провера истог реда

Провера узастопних бројева

Провера да ли су седишта слободна

Закључак

Кратак запис решења:

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста