Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 13
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
\( \beta \) и \( \angle AKM = 90^\circ \) су упоредни:\[ \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]\( \angle CMB = 180^\circ \) (опружен):\[ 65^\circ + 90^\circ + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \gamma = 180^\circ - 65^\circ - 90^\circ = 25^\circ \]У \( \triangle NBM \): \( \angle MNB = 90^\circ \)\[ \alpha = 180^\circ - 90^\circ - \gamma = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \]Тачан одговор: други кружић, \( \alpha = 65^\circ, \beta = 90^\circ, \gamma = 25^\circ \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
Нацртати правоугли троугао ABC са правим углом у темену A: A доле лево, B доле десно, C горе, катета AC вертикална и знатно дужа од хоризонталне катете AB. Унутар троугла нацртати правоугаоник ANMK тако да је теме N на катети AB (близу темена B), теме M на хипотенузи BC, а теме K на катети AC (KM је паралелно са AB, MN паралелно са AC). Унутар правоугаоника означити праве углове у теменима A, K и M. Код темена M, изнад дужи KM, између дужи MK и MC уписати 65°. Код темена K, изнад дужи KM, између дужи KC и KM уписати β. Код темена M, између дужи MN и MB уписати γ. Код темена B, између дужи BA и BC уписати α.
Скица са ознакама
Нацртати правоугли троугао ABC са правим углом у темену A: A доле лево, B доле десно, C горе, катета AC вертикална и знатно дужа од хоризонталне катете AB. Унутар троугла нацртати правоугаоник ANMK тако да је теме N на катети AB (близу темена B), теме M на хипотенузи BC, а теме K на катети AC (KM је паралелно са AB, MN паралелно са AC). Унутар правоугаоника означити праве углове у теменима A, K и M. Код темена M, изнад дужи KM, између дужи MK и MC уписати 65°. Код темена K, изнад дужи KM, између дужи KC и KM уписати β. Код темена M, између дужи MN и MB уписати γ. Код темена B, између дужи BA и BC уписати α.
Угао \( \beta \)
Тачке A, K и C леже на истој правој (катети AC), па углови \( \angle AKM \) и \( \beta = \angle CKM \) чине опружен угао, тј. они су упоредни. Угао \( \angle AKM \) је угао правоугаоника, па је прав: \[ \beta = 180^\circ - \angle AKM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]Угао \( \gamma \)
Тачке C, M и B леже на истој правој (хипотенузи), па је угао \( \angle CMB \) опружен. Дужи MK и MN деле га на три угла: \( 65^\circ \), прав угао правоугаоника \( \angle KMN \) и угао \( \gamma \). Њихов збир је \( 180^\circ \): \[ 65^\circ + 90^\circ + \gamma = 180^\circ \] \[ \gamma = 180^\circ - 65^\circ - 90^\circ = 25^\circ \]Угао \( \alpha \)
Посматрамо мали троугао NBM. Угао код темена N је прав, јер је упоредан са правим углом \( \angle ANM \) правоугаоника. Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \): \[ \alpha + 90^\circ + \gamma = 180^\circ \] \[ \alpha = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \] Исти резултат добијамо и овако: KM је паралелно са AB, па су угао од \( 65^\circ \) и угао \( \alpha \) сагласни углови на паралелним правама пресеченим хипотенузом.Закључак
Добили смо \( \alpha = 65^\circ \), \( \beta = 90^\circ \) и \( \gamma = 25^\circ \), па бојимо други кружић.Кратак запис решења:
\( \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 65^\circ - 90^\circ = 25^\circ \)
\( \alpha = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \)
Други кружић.
