Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 14
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 14, страна 8
\( a \) - основна ивица, \( s \) - бочна ивица
Пирамида је једнакоивична: \( a = s = 8\text{ cm} \)\[ P = B + M \]\[ B = a^2 = 8^2 = 64\text{ cm}^2 \]\[ M = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \cancel{4} \cdot \frac{8^2\sqrt{3}}{\cancel{4}} = 64\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]\[ P = 64 + 64\sqrt{3} = (64 + 64\sqrt{3})\text{ cm}^2 \]Тачан одговор: четврти кружић, \( P = (64 + 64\sqrt{3})\text{ cm}^2 \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 14, страна 8
Нацртати четворострану пирамиду ABCDS у косој пројекцији: основа је квадрат ABCD (A доле лево напред, B доле десно напред, C позади десно, D позади лево; невидљиве ивице AD, DC и DS испрекидане), а S је врх пирамиде изнад средишта основе. Поред основне ивице AB написати a = 8 cm, а поред бочне ивице SB написати s = 8 cm. Једну бочну страну, на пример SBC, благо осенчити као једнакостранични троугао.
Скица пирамиде
Нацртати четворострану пирамиду ABCDS у косој пројекцији: основа је квадрат ABCD (A доле лево напред, B доле десно напред, C позади десно, D позади лево; невидљиве ивице AD, DC и DS испрекидане), а S је врх пирамиде изнад средишта основе. Поред основне ивице AB написати a = 8 cm, а поред бочне ивице SB написати s = 8 cm. Једну бочну страну, на пример SBC, благо осенчити као једнакостранични троугао.
Шта значи једнакоивична пирамида
Код једнакоивичне пирамиде све ивице су исте дужине: основне ивице једнаке су бочним ивицама. Зато је \[ a = s = 8\text{ cm} \] Основа је квадрат странице \( a \), а свака од четири бочне стране је једнакостранични троугао странице \( a \).Формула за површину пирамиде
Површина пирамиде је збир површине основе \( B \) и површине омотача \( M \): \[ P = B + M \]Површина основе
\[ B = a^2 = (8\text{ cm})^2 = 64\text{ cm}^2 \]Површина омотача
Омотач чине четири једнакостранична троугла странице \( a \). Површина једнакостраничног троугла је \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), па скраћујемо са 4: \[ M = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \cancel{4} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{\cancel{4}} = a^2\sqrt{3} = 8^2\sqrt{3} = 64\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]Површина пирамиде
\[ P = B + M = (64 + 64\sqrt{3})\text{ cm}^2 \] Површина пирамиде је \( (64 + 64\sqrt{3})\text{ cm}^2 \), па бојимо четврти кружић.Кратак запис решења:
\( a = s = 8\text{ cm} \)
\( P = a^2 + 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 64 + 64\sqrt{3} = (64 + 64\sqrt{3})\text{ cm}^2 \)
Четврти кружић.
