Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 20
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
\( a \) - ивица основе, \( h \) - висина призме
Дато: \( V = 64\sqrt{6}\text{ cm}^3 \), \( \angle DBH = 60^\circ \), \( \angle BDH = 90^\circ \)\[ \angle BHD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \Rightarrow BH = 2 \cdot BD \]\[ DH^2 = BH^2 - BD^2 = 4BD^2 - BD^2 = 3BD^2 \Rightarrow DH = BD\sqrt{3} \]\[ h = DH = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6} \]\[ V = B \cdot h = a^2 \cdot a\sqrt{6} = a^3\sqrt{6} \]\[ a^3\sqrt{6} = 64\sqrt{6} \Rightarrow a^3 = 64 \Rightarrow a = 4\text{ cm} \]\[ h = 4\sqrt{6}\text{ cm} \]\[ P = 2B + M \]\[ B = a^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 \]\[ M = 4 \cdot a \cdot h = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} = 64\sqrt{6}\text{ cm}^2 \]\[ P = 2 \cdot 16 + 64\sqrt{6} = (32 + 64\sqrt{6})\text{ cm}^2 \]
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
Нацртати правилну четворострану призму ABCDEFGH: доња основа је квадрат ABCD, горња основа квадрат EFGH (E изнад A, F изнад B, G изнад C, H изнад D); невидљиве ивице цртати испрекидано. Ивицу основе AB означити са a, а бочну ивицу DH (висину призме) са h. Повући дијагоналу основе BD и телесну дијагоналу BH и осенчити троугао BDH. Уз дуж BD написати a√2. У троуглу BDH код темена D означити прав угао, а код темена B угао од 60° између BD и BH.
Скица са ознакама
Нацртати правилну четворострану призму ABCDEFGH: доња основа је квадрат ABCD, горња основа квадрат EFGH (E изнад A, F изнад B, G изнад C, H изнад D); невидљиве ивице цртати испрекидано. Ивицу основе AB означити са a, а бочну ивицу DH (висину призме) са h. Повући дијагоналу основе BD и телесну дијагоналу BH и осенчити троугао BDH. Уз дуж BD написати a√2. У троуглу BDH код темена D означити прав угао, а код темена B угао од 60° између BD и BH.
Правоугли троугао BDH
Бочна ивица DH нормална је на основу, па је троугао BDH правоугли са правим углом код темена D. Угао код темена B је \( 60^\circ \), па за угао код темена H добијамо: \[ \angle BHD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] У правоуглом троуглу са угловима \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе: \[ BH = 2 \cdot BD \] Другу катету рачунамо по Питагориној теореми: \[ DH^2 = BH^2 - BD^2 = 4BD^2 - BD^2 = 3BD^2 \Rightarrow DH = BD\sqrt{3} \]Висина призме изражена преко ивице основе
Основа је квадрат странице \( a \), па је њена дијагонала \( BD = a\sqrt{2} \). Висина призме је: \[ h = DH = BD\sqrt{3} = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6} \]Ивица основе из запремине
Запремина призме је \( V = B \cdot h \), где је \( B = a^2 \) површина основе: \[ V = a^2 \cdot a\sqrt{6} = a^3\sqrt{6} \] Изједначавамо са датом запремином и делимо обе стране са \( \sqrt{6} \): \[ a^3\sqrt{6} = 64\sqrt{6} \Rightarrow a^3 = 64 \] Пошто је \( 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \), добијамо: \[ a = 4\text{ cm} \] \[ h = a\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\text{ cm} \]Површина призме
Површина призме је \( P = 2B + M \), а омотач чине четири подударна правоугаоника \( a \times h \): \[ B = a^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 \] \[ M = 4 \cdot a \cdot h = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} = 64\sqrt{6}\text{ cm}^2 \] \[ P = 2 \cdot 16 + 64\sqrt{6} = (32 + 64\sqrt{6})\text{ cm}^2 \] Површина призме је \( (32 + 64\sqrt{6})\text{ cm}^2 \).Кратак запис решења:
\( \angle BHD = 30^\circ \Rightarrow BH = 2BD \), \( DH = \sqrt{4BD^2 - BD^2} = BD\sqrt{3} \)
\( h = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6} \), \( V = a^2 \cdot a\sqrt{6} = a^3\sqrt{6} = 64\sqrt{6} \Rightarrow a^3 = 64 \Rightarrow a = 4\text{ cm} \), \( h = 4\sqrt{6}\text{ cm} \)
\( P = 2a^2 + 4ah = 2 \cdot 16 + 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} = (32 + 64\sqrt{6})\text{ cm}^2 \)
