Најважније из лекције
Поређење: Позитивни бројеви > 0 > негативни бројеви. Код два негативна броја, већи је онај са мањом апсолутном вредношћу. Пример: \( -8 < -3 \).
Записивање скупова: Услови се могу записати неједнакостима. Пример: \( \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -1 \le x < 2\} = \{-1, 0, 1\} \).
Апсолутна вредност: Неједначине облика \( |x| \le a \) обухватају бројеве између \( -a \) и \( a \). Неједначине облика \( |x| > a \) обухватају бројеве мање од \( -a \) и веће од \( a \). Пример: Решења за \( |x| \le 2 \) су \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \).
Записивање скупова: Услови се могу записати неједнакостима. Пример: \( \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -1 \le x < 2\} = \{-1, 0, 1\} \).
Апсолутна вредност: Неједначине облика \( |x| \le a \) обухватају бројеве између \( -a \) и \( a \). Неједначине облика \( |x| > a \) обухватају бројеве мање од \( -a \) и веће од \( a \). Пример: Решења за \( |x| \le 2 \) су \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \).
На бројевној правој, бројеви слева надесно расту. Зато је лако упоредити два броја када су они представљени на бројевној правој.
Правила за упоређивање целих бројева:
- Сваки позитиван број већи је од сваког негативног броја.
- Нула је већа од сваког негативног броја.
- Од два различита негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања.
Пример поретка више бројева: \( -5 < -2 < 0 < 1 < 4 \).
Упоредите следеће бројеве: а) \( 0 \) и \( -7 \); б) \( -15 \) и \( -9 \).
а) \( 0 > -7 \) (Нула је већа од сваког негативног броја)
б) \( -15 < -9 \) (Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу, јер је \( |-9| < |-15| \))
б) \( -15 < -9 \) (Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу, јер је \( |-9| < |-15| \))
Скупове целих бројева који задовољавају одређене услове (неједнакости) можемо записати навођењем њихових елемената или помоћу описа скупа.
Бесконачни скупови: Сви цели бројеви мањи од \( -2 \)
\( A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x < -2\} = \{..., -5, -4, -3\} \)
Коначни скупови: Сви цели бројеви већи или једнаки \( -5 \), а мањи или једнаки \( -2 \)
\( B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -5 \le x \le -2\} = \{-5, -4, -3, -2\} \)
\( A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x < -2\} = \{..., -5, -4, -3\} \)
Коначни скупови: Сви цели бројеви већи или једнаки \( -5 \), а мањи или једнаки \( -2 \)
\( B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -5 \le x \le -2\} = \{-5, -4, -3, -2\} \)
Запишите скуп целих бројева \( C \) за које важи \( -3 < x \le 1 \) набрајањем његових елемената.
Број \( -3 \) није укључен јер је знак строго мање (\( < \)), док број \( 1 \) јесте укључен (\( \le \)).
Одговор: \( C = \{-2, -1, 0, 1\} \)
Одговор: \( C = \{-2, -1, 0, 1\} \)
Апсолутна вредност представља удаљеност броја од нуле на бројевној правој. Неједначине са апсолутном вредношћу решавамо разматрајући ту удаљеност.
Случај 1: \( |x| \le a \) (мање или једнако)
Решимо \( |x| \le 3 \). Ово значи да је удаљеност броја од нуле највише 3 јединичне дужи.
Скуп решења: \( \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \).
Решимо \( |x| \le 3 \). Ово значи да је удаљеност броја од нуле највише 3 јединичне дужи.
Скуп решења: \( \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \).
Случај 2: \( |x| > a \) (строго веће)
Решимо \( |x| > 2 \). Ово значи да је удаљеност од нуле строго већа од 2 јединичне дужи.
Скуп решења: \( \{..., -5, -4, -3\} \cup \{3, 4, 5, ...\} \).
Решимо \( |x| > 2 \). Ово значи да је удаљеност од нуле строго већа од 2 јединичне дужи.
Скуп решења: \( \{..., -5, -4, -3\} \cup \{3, 4, 5, ...\} \).
Случај 3: \( a \le |x| \le b \) (ограничено са обе стране)
Решимо \( 2 \le |x| \le 5 \). Удаљеност од нуле је најмање 2, а највише 5.
Скуп решења: \( \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\} \).
Решимо \( 2 \le |x| \le 5 \). Удаљеност од нуле је најмање 2, а највише 5.
Скуп решења: \( \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\} \).
Решите неједначину \( |x| < 2 \) у скупу целих бројева.
Траже се цели бројеви чија је удаљеност од нуле строго мања од 2.
Одговор: Скуп решења је \( \{-1, 0, 1\} \).
Одговор: Скуп решења је \( \{-1, 0, 1\} \).
Задаци за вежбање
Лак: Поређајте по величини следеће целе бројеве, почев од најмањег: \( 3, -4, 0, -1, 5 \).
Најмањи су негативни бројеви (већа апсолутна вредност значи мањи број), затим иде нула, па позитивни бројеви.
Одговор: \( -4 < -1 < 0 < 3 < 5 \)
Одговор: \( -4 < -1 < 0 < 3 < 5 \)
Средњи: Одредите колико има целих бројева \( x \) за које важи \( -6 < x \le 2 \).
Бројеви који задовољавају овај услов су: \( -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 \).
Одговор: Има их укупно 8.
Одговор: Има их укупно 8.
Тежак: Решите неједначину \( 10 < |x| \le 13 \) у скупу целих бројева.
Удаљеност броја од нуле мора бити строго већа од 10, а мања или једнака 13.
То значи да број \( x \) може бити позитиван: \( 11, 12, 13 \) или негативан: \( -11, -12, -13 \).
Одговор: Скуп решења је \( \{-13, -12, -11, 11, 12, 13\} \).
То значи да број \( x \) може бити позитиван: \( 11, 12, 13 \) или негативан: \( -11, -12, -13 \).
Одговор: Скуп решења је \( \{-13, -12, -11, 11, 12, 13\} \).
