Најважније из лекције
- Одузимање је сабирање са супротним бројем: \( a - b = a + (-b) \). Пример: \( -5 - (-3) = -5 + 3 = -2 \).
- Комутативност не важи: Разлике \( a - b \) и \( b - a \) су супротни бројеви (нпр. \( -4 \) и \( 4 \)).
- Растојање: Удаљеност две тачке \( a \) и \( b \) на бројевној правој износи \( |a - b| \) јединица, што осигурава да резултат буде позитиван број.
Од једног целог броја одузимамо други тако што први саберемо са супротним бројем другог.
За све целе бројеве \( a \) и \( b \) важи:
\[ a - b = a + (-b) \]
Примена правила на различитим примерима:
- \( -2 - 7 = -2 + (-7) = -9 \)
- \( 1 - (-3) = 1 + (+3) = 1 + 3 = 4 \)
- \( -7 - (-4) = -7 + (+4) = -3 \)
Израчунај: \( -15 - (-8) \)
Примењујемо правило да је одузимање исто што и сабирање са супротним бројем:
\( -15 - (-8) = -15 + 8 = -7 \)
\( -15 - (-8) = -15 + 8 = -7 \)
Скуп целих бројева (\( \mathbb{Z} \)) је затворен за одузимање. То значи да је разлика било која два цела броја увек цео број, и увек је могуће одузети већи број од мањег (нпр. \( 2 - 5 = -3 \)).
Одузимање целих бројева није комутативно! Разлике \( a - b \) и \( b - a \) нису једнаке.
За било које целе бројеве \( a \) и \( b \), разлике \( a - b \) и \( b - a \) су супротни бројеви и имају исту апсолутну вредност:
\[ -(a - b) = b - a \]
\[ |a - b| = |b - a| \]
Упоредимо \( 3 - 8 \) и \( 8 - 3 \):
\( 3 - 8 = -5 \)
\( 8 - 3 = 5 \)
Бројеви \( -5 \) и \( 5 \) су супротни бројеви, а њихове апсолутне вредности су једнаке: \( |-5| = |5| = 5 \).
\( 3 - 8 = -5 \)
\( 8 - 3 = 5 \)
Бројеви \( -5 \) и \( 5 \) су супротни бројеви, а њихове апсолутне вредности су једнаке: \( |-5| = |5| = 5 \).
Растојање између две тачке на бројевној правој рачуна се помоћу апсолутне вредности њихове разлике. На овај начин не морамо да водимо рачуна о томе који је број већи, а који мањи.
Ако су \( a \) и \( b \) цели бројеви, онда је растојање између тачака \( A(a) \) и \( B(b) \) бројевне праве једнако \( |a - b| \) јединица мере.
Ако желимо да одредимо за колико степени се променила температура са \( -12^\circ\text{C} \) на \( -3^\circ\text{C} \), рачунамо растојање између та два броја:
\( |-12 - (-3)| = |-12 + 3| = |-9| = 9 \)
Температура се променила за \( 9^\circ\text{C} \).
\( |-12 - (-3)| = |-12 + 3| = |-9| = 9 \)
Температура се променила за \( 9^\circ\text{C} \).
Одреди растојање између тачака \( M(-6) \) и \( N(4) \) на бројевној правој.
Растојање рачунамо као апсолутну вредност њихове разлике:
\( | -6 - 4 | = |-10| = 10 \)
Растојање је 10 јединица. (Исти резултат добијамо и ако рачунамо \( | 4 - (-6) | = | 4 + 6 | = 10 \)).
\( | -6 - 4 | = |-10| = 10 \)
Растојање је 10 јединица. (Исти резултат добијамо и ако рачунамо \( | 4 - (-6) | = | 4 + 6 | = 10 \)).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај вредности следећих израза:
а) \( -14 - 6 \)
б) \( 25 - (-5) \)
а) \( -14 - 6 \)
б) \( 25 - (-5) \)
а) \( -14 - 6 = -14 + (-6) = -20 \)
б) \( 25 - (-5) = 25 + 5 = 30 \)
б) \( 25 - (-5) = 25 + 5 = 30 \)
Средњи задатак: Израчунај вредност израза: \( -(-4 - (-7)) - 10 \).
Прво решавамо унутрашњу заграду:
\( -4 - (-7) = -4 + 7 = 3 \)
Сада израз постаје:
\( -(3) - 10 = -3 - 10 = -13 \)
\( -4 - (-7) = -4 + 7 = 3 \)
Сада израз постаје:
\( -(3) - 10 = -3 - 10 = -13 \)
Средњи задатак: Нека је \( a = -15 \) и \( b = -9 \). Израчунај \( a - b \), \( b - a \), и докажи да важи \( |a - b| = |b - a| \).
\( a - b = -15 - (-9) = -15 + 9 = -6 \)
\( b - a = -9 - (-15) = -9 + 15 = 6 \)
Проверавамо апсолутне вредности:
\( |-6| = 6 \) и \( |6| = 6 \).
Дакле, \( |a - b| = |b - a| \) је тачно.
\( b - a = -9 - (-15) = -9 + 15 = 6 \)
Проверавамо апсолутне вредности:
\( |-6| = 6 \) и \( |6| = 6 \).
Дакле, \( |a - b| = |b - a| \) је тачно.
Тежак задатак: Температура ујутру је била \( -8^\circ\text{C} \). До поднева је порасла за \( 12^\circ\text{C} \), а до вечери се спустила за \( 7^\circ\text{C} \) у односу на подневну температуру. Одреди колика је била вечерња температура и колико износи растојање између јутарње и вечерње температуре на бројевној правој.
Подневна температура: \( -8 + 12 = 4^\circ\text{C} \).
Вечерња температура: \( 4 - 7 = -3^\circ\text{C} \).
Растојање између јутарње (\( -8 \)) и вечерње (\( -3 \)) температуре:
\( |-8 - (-3)| = |-8 + 3| = |-5| = 5 \) степени.
Вечерња температура: \( 4 - 7 = -3^\circ\text{C} \).
Растојање између јутарње (\( -8 \)) и вечерње (\( -3 \)) температуре:
\( |-8 - (-3)| = |-8 + 3| = |-5| = 5 \) степени.
