II.9. На крају поглавља — троугао

Решење: Шта се тражи Треба одредити које од понуђених тврђења важи за сваки троугао \( \triangle ABC \), где су \( AB \), \( BC \) и \( CA \) дужине његових страница. Кључно својство — неједнакост троугла За сваки троугао свака страница је мања од збира друге две странице (и већа од њихове разлике): \[ AB \lt BC + CA, \qquad BC \lt AB + CA, \qquad CA \lt AB + BC. \] Помоћу овог својства проверавамо сваку опцију. Провера опције а) \( AB \lt BC \) Однос двеју страница није унапред одређен: страница \( AB \) може бити мања, већа или једнака страници \( BC \) — то зависи од конкретног троугла (нпр. у једнакостраничном троуглу је \( AB = BC \), а тада \( AB \lt BC \) не важи). Дакле, тврђење не важи за сваки троугао. Провера опције б) \( AB \gt BC + CA \) Ово тврђење је у директној супротности са неједнакошћу троугла, по којој је \( AB \lt BC + CA \). Ниједна страница не може бити већа од збира друге две, па ово тврђење не важи ни за један троугао. Провера опције в) \( AB \lt BC + CA \) Ово је управо неједнакост троугла примењена на страницу \( AB \). Она важи у сваком троуглу, јер је свака страница строго мања од збира друге две. Тврђење је тачно. Провера опције г) \( AB = BC + CA \) Једнакост \( AB = BC + CA \) значила би да тачке \( A \), \( B \) и \( C \) леже на једној правој (изроди се у дуж), што није троугао. За прави троугао важи строга неједнакост \( AB \lt BC + CA \), а не једнакост. Дакле, тврђење не важи. Закључак Једино тврђење које важи за сваки троугао је \( AB \lt BC + CA \), то јест опција в).