Најважније из лекције
Правоугли координатни систем: Чине га \( x \)-оса (хоризонтална, апсциса) и \( y \)-оса (вертикална, ордината) које се секу у координатном почетку \( O(0,0) \).
Координате: Тачка се означава уређеним паром \( (x, y) \). Растојање од оса је \( |y| \) (од \( x \)-осе) и \( |x| \) (од \( y \)-осе).
Средиште дужи: Рачуна се као аритметичка средина координата крајњих тачака: \( S\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).
Растојање између тачака: Ако су тачке на истој правој паралелној некој оси, растојање је једнако апсолутној вредности разлике преосталих координата (нпр. \( |x_2 - x_1| \)).
Скупови тачака: Праве (једначине) или полуравни/области (неједначине). Знаци \( \le \) и \( \ge \) означавају пуну линију (укључују границу), а \( < \) и \( > \) испрекидану линију.
Координате: Тачка се означава уређеним паром \( (x, y) \). Растојање од оса је \( |y| \) (од \( x \)-осе) и \( |x| \) (од \( y \)-осе).
Средиште дужи: Рачуна се као аритметичка средина координата крајњих тачака: \( S\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).
Растојање између тачака: Ако су тачке на истој правој паралелној некој оси, растојање је једнако апсолутној вредности разлике преосталих координата (нпр. \( |x_2 - x_1| \)).
Скупови тачака: Праве (једначине) или полуравни/области (неједначине). Знаци \( \le \) и \( \ge \) означавају пуну линију (укључују границу), а \( < \) и \( > \) испрекидану линију.
Правоугли (Декартов) координатни систем чине две узајамно нормалне бројевне праве, при чему је тачки пресека додељен број нула и подударне су јединичне дужи обе праве.
- Хоризонтална права се назива \( x \)-оса (апсцисна оса).
- Вертикална права се назива \( y \)-оса (ординатна оса).
- Пресек оса назива се координатни почетак и обележава се словом \( O \).
Осе деле раван на четири области које се називају квадранти (I, II, III и IV квадрант), који се броје у смеру супротном од кретања казаљке на сату.
Позицију тачке у равни одређујемо помоћу уређеног пара бројева \( (a, b) \). Први број је увек на \( x \)-оси, а други на \( y \)-оси.
Број \( a \) се назива прва координата или апсциса. Број \( b \) се назива друга координата или ордината.
Растојање тачке од координатних оса рачуна се помоћу апсолутне вредности њених координата:
- Растојање тачке \( T(x, y) \) од \( y \)-осе је \( |x| \).
- Растојање тачке \( T(x, y) \) од \( x \)-осе је \( |y| \).
За тачку \( Q(-7, 4) \):
Растојање од \( y \)-осе је \( |-7| = 7 \).
Растојање од \( x \)-осе је \( |4| = 4 \).
Растојање од \( y \)-осе је \( |-7| = 7 \).
Растојање од \( x \)-осе је \( |4| = 4 \).
Одредите растојање тачке \( M(5, -3) \) од \( x \)-осе и од \( y \)-осе.
Растојање од \( x \)-осе је \( |-3| = 3 \).
Растојање од \( y \)-осе је \( |5| = 5 \).
Растојање од \( y \)-осе је \( |5| = 5 \).
Средиште дужи је тачка која дели дуж на два једнака дела. Њене координате се добијају као аритметичка средина координата крајњих тачака те дужи.
Ако су дате крајње тачке дужи \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), координате средишта \( S \) су:
\[ S\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Одредите координате средишта дужи \( AB \) ако су дате тачке \( A(-3, -4) \) и \( B(7, 2) \).
Апсциса тачке \( S \): \( \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Ордината тачке \( S \): \( \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Одговор: Средиште дужи је тачка \( S(2, -1) \).
Ордината тачке \( S \): \( \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Одговор: Средиште дужи је тачка \( S(2, -1) \).
Ако две тачке имају исту апсцису или исту ординату, њихово међусобно растојање се рачуна као апсолутна вредност разлике оних координата које се разликују.
- Ако тачке имају исте ординате (дуж паралелна \( x \)-оси): \( AB = |x_2 - x_1| \)
- Ако тачке имају исте апсцисе (дуж паралелна \( y \)-оси): \( AB = |y_2 - y_1| \)
Растојање између тачака \( A(-3, 3) \) и \( B(1, 3) \) (ординате су исте):
\( AB = |1 - (-3)| = |1 + 3| = |4| = 4 \)
\( AB = |1 - (-3)| = |1 + 3| = |4| = 4 \)
Израчунајте дужину дужи \( CD \) ако су координате тачака \( C(4, -2) \) и \( D(4, 5) \).
Апсцисе су једнаке (обе су 4), па рачунамо разлику ордината:
\( CD = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 \)
Дужина дужи је 7.
\( CD = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 \)
Дужина дужи је 7.
Скупови тачака у координатном систему могу бити дефинисани једначинама или неједначинама.
- Једначина облика \( x = a \) представља праву паралелну \( y \)-оси.
- Једначина облика \( y = b \) представља праву паралелну \( x \)-оси.
- Неједнакости (\( <, >, \le, \ge \)) представљају полуравни (области).
Ако неједнакост садржи знак једнакости (\( \le, \ge \)), гранична права се црта пуном линијом јер тачке на њој припадају скупу.
Ако је неједнакост строга (\( <, > \)), гранична права се црта испрекиданом линијом.
Ако је неједнакост строга (\( <, > \)), гранична права се црта испрекиданом линијом.
Задаци за вежбање
Лак: Напиши координате тачке \( P \) чија је ордината \( -5 \), а апсциса \( 2 \). У ком се квадранту налази ова тачка?
Уређени пар се увек записује као \( (x, y) \), односно (апсциса, ордината).
Координате тачке су \( P(2, -5) \).
Пошто је \( x > 0 \) и \( y < 0 \), тачка се налази у IV квадранту.
Координате тачке су \( P(2, -5) \).
Пошто је \( x > 0 \) и \( y < 0 \), тачка се налази у IV квадранту.
Средњи: Дате су тачке \( M(-4, 6) \) и \( N(-4, -2) \). Израчунај растојање између њих и одреди координате средишта дужи \( MN \).
Растојање: Пошто су апсцисе једнаке (\( -4 \)), рачунамо разлику ордината:
\( MN = |-2 - 6| = |-8| = 8 \)
Средиште: Користимо формулу за средиште дужи:
\( x_s = \frac{-4 + (-4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
\( y_s = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Средиште је тачка \( S(-4, 2) \).
\( MN = |-2 - 6| = |-8| = 8 \)
Средиште: Користимо формулу за средиште дужи:
\( x_s = \frac{-4 + (-4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
\( y_s = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Средиште је тачка \( S(-4, 2) \).
Тежак: У координатном систему дата су три темена правоугаоника \( ABCD \): \( A(-4, -1), B(2, -1) \) и \( C(2, 3) \). Одреди координате темена \( D \) и израчунај обим тог правоугаоника.
Тачке \( A \) и \( B \) имају исту ординату (\( -1 \)), па је дуж \( AB \) хоризонтална. Тачке \( B \) и \( C \) имају исту апсцису (\( 2 \)), па је дуж \( BC \) вертикална.
Да би фигура била правоугаоник, теме \( D \) мора имати апсцису тачке \( A \) (да би \( AD \) било вертикално) и ординату тачке \( C \) (да би \( CD \) било хоризонтално).
Координате темена \( D \) су \( D(-4, 3) \).
Странице правоугаоника:
\( a = AB = |2 - (-4)| = |6| = 6 \)
\( b = BC = |3 - (-1)| = |4| = 4 \)
Обим правоугаоника:
\( O = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20 \).
Да би фигура била правоугаоник, теме \( D \) мора имати апсцису тачке \( A \) (да би \( AD \) било вертикално) и ординату тачке \( C \) (да би \( CD \) било хоризонтално).
Координате темена \( D \) су \( D(-4, 3) \).
Странице правоугаоника:
\( a = AB = |2 - (-4)| = |6| = 6 \)
\( b = BC = |3 - (-1)| = |4| = 4 \)
Обим правоугаоника:
\( O = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20 \).
