III.13. На крају поглавља — троугао

Решење: Одређивање дужина страница Троугао \( ABC \) је једнакокраки са основицом \( AB \), па су његови краци међусобно једнаки: \( AC = BC = b \). Основица је \( AB = 2{,}5 \) cm, а обим \( O = 9 \) cm. Из обрасца за обим троугла \( O = AB + AC + BC \) следи: \[ 9 = 2{,}5 + b + b = 2{,}5 + 2b. \] Одавде је \( 2b = 9 - 2{,}5 = 6{,}5 \) cm, па је сваки крак дужине \[ b = \frac{6{,}5}{2} = 3{,}25 \text{ cm}. \] Провера постојања троугла (неједнакост троугла) За странице \( a = 2{,}5 \) cm и \( b = 3{,}25 \) cm мора важити да је свака страница мања од збира, а већа од разлике друге две. Пошто је \( 2{,}5 \lt 3{,}25 + 3{,}25 = 6{,}5 \) и \( 3{,}25 \lt 2{,}5 + 3{,}25 = 5{,}75 \), троугао са овим страницама постоји, па је конструкција могућа. Опис конструкције (шестаром и лењиром) 1. Лењиром нацртамо праву и на њој истакнемо дуж \( AB = 2{,}5 \) cm — то је основица троугла (тачке \( A \) и \( B \)). 2. Шестар отворимо тако да размак између врхова буде тачно \( 3{,}25 \) cm (дужина крака \( b \)). 3. Са тим отвором забодемо шестар у тачку \( A \) и повучемо лук изнад дужи \( AB \). 4. Са истим, непромењеним отвором забодемо шестар у тачку \( B \) и повучемо други лук који пресеца први. Пресечну тачку та два лука означимо са \( C \) — то је треће теме троугла. 5. Лењиром спојимо \( C \) са \( A \) и \( C \) са \( B \). Добијене дужи \( CA \) и \( CB \) су краци троугла. Закључак Тако конструисан троугао \( ABC \) је једнакокраки (по конструкцији је \( CA = CB = 3{,}25 \) cm, јер обе тачке леже на луковима истог полупречника из крајева основице), има основицу \( AB = 2{,}5 \) cm, а обим \[…