Најважније из лекције
Размера двају бројева је њихов количник \( a : b = \dfrac{a}{b} \). Две размере су једнаке ако се своде на исту размеру, нпр. \( 6 : 15 = (6:3):(15:3) = 2 : 5 \). Једнакост двеју размера \( a : b = c : d \) назива се пропорција; \( a \) и \( d \) су спољашњи, а \( b \) и \( c \) унутрашњи чланови. Основно својство пропорције: производ спољашњих једнак је производу унутрашњих чланова, \( a \cdot d = b \cdot c \). Помоћу овог својства из три позната члана рачунамо четврти (нпр. \( 0{,}5 : 1{,}5 = y : 6 \Rightarrow 0{,}5 \cdot 6 = 1{,}5 \cdot y \Rightarrow y = 2 \)). Пропорције се примењују код мерила, карата и мешавина.
Размера двају бројева је њихов количник, записан у облику \( a : b \) (чита се „\( a \) према \( b \)“) или као разломак \( \dfrac{a}{b} \).
Две размере су једнаке ако се могу свести на исту размеру (проширивањем или скраћивањем оба члана истим бројем).
а) Размере \( 2 : 5 \) и \( 6 : 15 \) јесу једнаке. Важи:
\[ 6 : 15 = (6 : 3) : (15 : 3) = 2 : 5 \]
б) Размере \( \dfrac{3}{4} \) и \( \dfrac{6}{8} \) јесу једнаке. Важи:
\[ \frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4} \]
Пропорција је једнакост двеју размера.
Ако су размере \( a : b \) (\( b \neq 0 \)) и \( c : d \) (\( d \neq 0 \)) једнаке, онда је једнакост
\[ a : b = c : d, \qquad \text{односно} \qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]
пропорција. Чита се: \( a \) се односи према \( b \) исто као \( c \) према \( d \).
Бројеви \( a \) и \( d \) су спољашњи чланови пропорције. Бројеви \( b \) и \( c \) су унутрашњи чланови пропорције.
\[ \underbrace{a}_{\text{спољашњи}} : \underbrace{b}_{\text{унутрашњи}} = \underbrace{c}_{\text{унутрашњи}} : \underbrace{d}_{\text{спољашњи}} \]
У пропорцији \( 2 : 5 = 6 : 15 \): спољашњи чланови су \( 2 \) и \( 15 \), а унутрашњи \( 5 \) и \( 6 \).
У пропорцији \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} \): спољашњи чланови су \( 3 \) и \( 8 \), а унутрашњи \( 4 \) и \( 6 \).
У пропорцији \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} \): спољашњи чланови су \( 3 \) и \( 8 \), а унутрашњи \( 4 \) и \( 6 \).
Производ спољашњих чланова пропорције једнак је производу унутрашњих чланова пропорције.
\[ a : b = c : d \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c \]
Проверимо ово својство на неколико пропорција (Табела 3.1):
| Пропорција | Производ спољашњих чланова | Производ унутрашњих чланова |
|---|---|---|
| \( 2 : 5 = 6 : 15 \) | \( 2 \cdot 15 = 30 \) | \( 5 \cdot 6 = 30 \) |
| \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} \) | \( 3 \cdot 8 = 24 \) | \( 4 \cdot 6 = 24 \) |
| \( -2{,}8 : 1{,}4 = 10 : (-5) \) | \( -2{,}8 \cdot (-5) = 14 \) | \( 1{,}4 \cdot 10 = 14 \) |
Ако су позната три члана пропорције, четврти (непознати) члан можемо израчунати помоћу основног својства: изједначимо производ спољашњих са производом унутрашњих чланова, па решимо добијену једначину.
а) \( x : 12 = 2 : 3 \)
\[ 3 \cdot x = 12 \cdot 2 \;\Rightarrow\; 3 \cdot x = 24 \;\Rightarrow\; x = 24 : 3 = 8 \]
б) \( 0{,}5 : 1{,}5 = y : 6 \)
\[ 0{,}5 \cdot 6 = 1{,}5 \cdot y \;\Rightarrow\; 3 = 1{,}5 \cdot y \;\Rightarrow\; y = 3 : 1{,}5 = 2 \]
в) \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{z} \)
\[ 1 \cdot z = 4 \cdot 2 \;\Rightarrow\; z = 8 \]
Размера се често јавља код мерила (плана, карте, слике). Мерило нам казује колико је пута предмет на слици умањен у односу на стварну величину.
Висока жирафа на слици је \( 5 \text{ cm} \), а у природи \( 5 \text{ m} \). Како је \( 5 \text{ m} = 500 \text{ cm} \), размера висине на слици и у природи је
\[ \frac{5 \text{ cm}}{500 \text{ cm}} = \frac{1}{100}, \qquad \text{односно } 1 : 100. \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одреди \( x \) ако је \( 15 : x = 3 : 4 \).
Применимо основно својство пропорције (производ спољашњих = производ унутрашњих):
\[ 15 \cdot 4 = x \cdot 3 \]
\[ 60 = 3 \cdot x \;\Rightarrow\; x = 60 : 3 = 20 \]
Одговор: \( x = 20 \).
Средњи задатак: План града урађен је у размери \( 1 : 50\,000 \). Дужина једне улице на плану је \( 2 \text{ cm} \). Колика је стварна дужина те улице?
Размера \( 1 : 50\,000 \) значи да \( 1 \text{ cm} \) на плану одговара \( 50\,000 \text{ cm} \) у стварности. Нека је стварна дужина \( x \):
\[ 1 : 50\,000 = 2 : x \]
\[ 1 \cdot x = 50\,000 \cdot 2 \;\Rightarrow\; x = 100\,000 \text{ cm} \]
Претворимо у метре: \( 100\,000 \text{ cm} = 1\,000 \text{ m} \).
Одговор: Стварна дужина улице је \( 1\,000 \text{ m} \) (то јест \( 1 \text{ km} \)).
Одговор: Стварна дужина улице је \( 1\,000 \text{ m} \) (то јест \( 1 \text{ km} \)).
Тежак задатак: Ражано и пшенично брашно треба помешати у размери \( 2 : 5 \). Колико је грама сваке врсте брашна потребно да се добије \( 700 \text{ g} \) мешавине?
Нека је потребно \( r \) грама ражаног и \( p \) грама пшеничног брашна. Тада је \( r : p = 2 : 5 \), а укупно \( r + p = 700 \).
Мешавина се дели на \( 2 + 5 = 7 \) једнаких делова. Један део износи: \[ 700 : 7 = 100 \text{ g} \] Ражано брашно чини \( 2 \) дела, а пшенично \( 5 \) делова: \[ r = 2 \cdot 100 = 200 \text{ g}, \qquad p = 5 \cdot 100 = 500 \text{ g} \] Провера: \( 200 + 500 = 700 \text{ g} \) и \( 200 : 500 = 2 : 5 \). \checkmark
Одговор: Потребно је \( 200 \text{ g} \) ражаног и \( 500 \text{ g} \) пшеничног брашна.
Мешавина се дели на \( 2 + 5 = 7 \) једнаких делова. Један део износи: \[ 700 : 7 = 100 \text{ g} \] Ражано брашно чини \( 2 \) дела, а пшенично \( 5 \) делова: \[ r = 2 \cdot 100 = 200 \text{ g}, \qquad p = 5 \cdot 100 = 500 \text{ g} \] Провера: \( 200 + 500 = 700 \text{ g} \) и \( 200 : 500 = 2 : 5 \). \checkmark
Одговор: Потребно је \( 200 \text{ g} \) ражаног и \( 500 \text{ g} \) пшеничног брашна.
