Најважније из лекције
Правило за разломке: Дељење разломком се своди на множење његовом реципрочном вредношћу \( \left( \frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} \right) \).
Правило знака: Исти знаци дају позитиван количник \( (+), (- : - = +) \). Различити знаци дају негативан количник \( (-), (+ : - = -) \).
Аритметичка средина: Збир бројева подељен њиховим укупним бројем. Геометријски, за два броја, то је тачка тачно на средини између њих на бројевној правој.
Нула: Нулом се не може делити, али нула подељена било којим бројем (различитим од нуле) даје нулу.
Правило знака: Исти знаци дају позитиван количник \( (+), (- : - = +) \). Различити знаци дају негативан количник \( (-), (+ : - = -) \).
Аритметичка средина: Збир бројева подељен њиховим укупним бројем. Геометријски, за два броја, то је тачка тачно на средини између њих на бројевној правој.
Нула: Нулом се не може делити, али нула подељена било којим бројем (различитим од нуле) даје нулу.
Ако за рационалне бројеве \( a, b \) и \( c, b \neq 0 \), важи \( a \cdot b = c \), тада је \( c : b = a \).
Нулом се не дели!
Поделити рационалан број \( \frac{p}{q} \) рационалним бројем \( \frac{r}{s} \) (где је \( \frac{r}{s} \neq 0 \)), исто је као и тај број помножити реципрочном вредношћу броја \( \frac{r}{s} \).
\[ \frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} \]
Пример дељења:
\[ \left( -\frac{9}{11} \right) : \left( -\frac{12}{13} \right) = -\frac{9}{11} \cdot \left( -\frac{13}{12} \right) = \frac{3}{11} \cdot \frac{13}{4} = \frac{39}{44} \]
Израчунај: \( \frac{3}{10} : \left( -\frac{8}{15} \right) \)
\( \frac{3}{10} : \left( -\frac{8}{15} \right) = \frac{3}{10} \cdot \left( -\frac{15}{8} \right) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{9}{16} \)
Количник рационалних бројева истог знака је позитиван број, а количник рационалних бројева различитог знака је негативан број. Апсолутна вредност количника једнака је количнику апсолутних вредности.
За сваки рационалан број \( r \neq 0 \), важи \( 0 : r = 0 \).
Приликом дељења децималних бројева, делилац се проширује тако да постане цео број:
\( (-1,8) : (-0,09) = 1,8 : 0,09 = 180 : 9 = 20 \)
\( (-10,14) : 0,03 = -(10,14 : 0,03) = -(1014 : 3) = -338 \)
\( (-1,8) : (-0,09) = 1,8 : 0,09 = 180 : 9 = 20 \)
\( (-10,14) : 0,03 = -(10,14 : 0,03) = -(1014 : 3) = -338 \)
Израчунај: \( 11,913 : (-5,7) \)
Позитиван број дељен негативним даје негативан резултат. Померамо зарез за једно место:
\( 11,913 : (-5,7) = -(11,913 : 5,7) = -(119,13 : 57) = -2,09 \)
\( 11,913 : (-5,7) = -(11,913 : 5,7) = -(119,13 : 57) = -2,09 \)
Скуп рационалних бројева \( \mathbb{Q} \) је затворен за множење и дељење (осим дељења нулом). То значи да су производ и количник два рационална броја увек рационални бројеви.
Аритметичка средина рационалних бројева \( a \) и \( b \) јесте број \( \frac{a+b}{2} \).
Аритметичка средина \( n \) рационалних бројева једнака је количнику збира тих бројева и броја \( n \).
Аритметичка средина \( n \) рационалних бројева једнака је количнику збира тих бројева и броја \( n \).
Аритметичка средина бројева \( -\frac{1}{2} \) и \( -\frac{4}{5} \):
\[ \frac{-\frac{1}{2} + \left( -\frac{4}{5} \right)}{2} = \frac{-\frac{5}{10} - \frac{8}{10}}{2} = \frac{-\frac{13}{10}}{2} = -\frac{13}{20} \]
На бројевној правој, аритметичкој средини два броја придружено је средиште дужи чији су крајеви те две тачке. Између свака два различита рационална броја постоји рационалан број.
Израчунај аритметичку средину бројева \( -3,2 \) и \( 1,4 \).
\( \frac{-3,2 + 1,4}{2} = \frac{-1,8}{2} = -0,9 \)
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај: \( (-35) : (-7) \) и \( 42 : (-6) \).
\( (-35) : (-7) = 5 \) (два негативна броја дају позитиван количник).
\( 42 : (-6) = -7 \) (позитиван и негативан број дају негативан количник).
\( 42 : (-6) = -7 \) (позитиван и негативан број дају негативан количник).
Средњи: Израчунај: \( \frac{2}{3} : \left( -\frac{3}{4} \right) \).
Множимо први разломак реципрочном вредношћу другог:
\( \frac{2}{3} : \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{8}{9} \)
\( \frac{2}{3} : \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{8}{9} \)
Тежак: Једне јануарске недеље измерене су следеће јутарње температуре: \( -1^\circ C, -3^\circ C, -10^\circ C, -5^\circ C, 0^\circ C, -1^\circ C, 3^\circ C \). Колика је била просечна (аритметичка средина) јутарња температура те недеље?
Збир свих температура:
\( -1 + (-3) + (-10) + (-5) + 0 + (-1) + 3 = -1 - 3 - 10 - 5 + 0 - 1 + 3 = -20 + 3 = -17 \)
Број дана је 7, па збир делимо са 7:
\( -17 : 7 = -\frac{17}{7} = -2 \frac{3}{7}^\circ C \)
\( -1 + (-3) + (-10) + (-5) + 0 + (-1) + 3 = -1 - 3 - 10 - 5 + 0 - 1 + 3 = -20 + 3 = -17 \)
Број дана је 7, па збир делимо са 7:
\( -17 : 7 = -\frac{17}{7} = -2 \frac{3}{7}^\circ C \)
