Најважније из лекције
Неједначину с непознатом која је помножена или подељена неким бројем решавамо тако што обе стране помножимо или поделимо истим бројем док непозната не остане сама.
Ако множимо (делимо) позитивним бројем, знак неједнакости остаје исти: нпр. \( 2\cdot x < 6 \Rightarrow x < 3 \).
Ако множимо (делимо) негативним бројем, мења се и знак неједнакости (\( < \leftrightarrow > \), \( \le \leftrightarrow \ge \)): нпр. \( -2\cdot x < 6 \Rightarrow x > -3 \).
Решење приказујемо на бројевној правој: границу цртамо празним кружићем код \( < \) и \( > \), а пуним код \( \le \) и \( \ge \).
Ако множимо (делимо) позитивним бројем, знак неједнакости остаје исти: нпр. \( 2\cdot x < 6 \Rightarrow x < 3 \).
Ако множимо (делимо) негативним бројем, мења се и знак неједнакости (\( < \leftrightarrow > \), \( \le \leftrightarrow \ge \)): нпр. \( -2\cdot x < 6 \Rightarrow x > -3 \).
Решење приказујемо на бројевној правој: границу цртамо празним кружићем код \( < \) и \( > \), а пуним код \( \le \) и \( \ge \).
Неједначина је израз у коме су две стране повезане знаком неједнакости (\( < \), \( > \), \( \le \) или \( \ge \)), а у њему се појављује непозната. Овде је непозната помножена или подељена неким рационалним бројем, нпр. \( 2\cdot x < 6 \) или \( -2\cdot x < 6 \).
Решити неједначину значи пронаћи све бројеве који, када их уврстимо уместо непознате, дају тачну неједнакост. Тих бројева обично има бесконачно много, па решење записујемо у облику као што је \( x < 3 \).
Да бисмо непознату ослободили множитеља, обе стране неједначине множимо или делимо истим бројем. При томе важе два правила, зависно од тога да ли је тај број позитиван или негативан.
Кад леву и десну страну неједначине помножимо или поделимо истим позитивним бројем, знак неједнакости остаје исти и неједначина је даље тачна.
Пример 12.1. Реши неједначину \( 2\cdot x < 6 \).
Обе стране делимо позитивним бројем \( 2 \) (или множимо са \( \tfrac{1}{2} \)); знак \( < \) остаје: \[ 2\cdot x < 6 \;\; / : 2 \] \[ \frac{2\cdot x}{2} < \frac{6}{2} \] \[ x < 3 \] Дакле, сваки број мањи од \( 3 \) јесте решење неједначине.
Обе стране делимо позитивним бројем \( 2 \) (или множимо са \( \tfrac{1}{2} \)); знак \( < \) остаје: \[ 2\cdot x < 6 \;\; / : 2 \] \[ \frac{2\cdot x}{2} < \frac{6}{2} \] \[ x < 3 \] Дакле, сваки број мањи од \( 3 \) јесте решење неједначине.
Кад леву и десну страну неједначине помножимо или поделимо истим негативним бројем, морамо да променимо и знак неједнакости: \( < \) прелази у \( > \), а \( \le \) у \( \ge \) (и обрнуто).
Зашто? Множење негативним бројем окреће поредак на бројевној правој: ако је чинилац негативан, кад умањилац расте, производ се смањује. Зато се и знак неједнакости мора окренути.
Пример 12.2. Реши неједначину \( -2\cdot x < 6 \).
Обе стране делимо негативним бројем \( -2 \) (или множимо са \( -\tfrac{1}{2} \)) и знак \( < \) мењамо у \( > \): \[ -2\cdot x < 6 \;\; / : (-2) \] \[ \frac{-2\cdot x}{-2} > \frac{6}{-2} \] \[ x > -3 \] Дакле, сваки број већи од \( -3 \) јесте решење неједначине.
Обе стране делимо негативним бројем \( -2 \) (или множимо са \( -\tfrac{1}{2} \)) и знак \( < \) мењамо у \( > \): \[ -2\cdot x < 6 \;\; / : (-2) \] \[ \frac{-2\cdot x}{-2} > \frac{6}{-2} \] \[ x > -3 \] Дакле, сваки број већи од \( -3 \) јесте решење неједначине.
Решење неједначине приказујемо на бројевној правој тако што обојимо (осенчимо) све бројеве који су решења. Гранична тачка се:
- означава празним (белим) кружићем ако граница није решење — код \( < \) и \( > \);
- означава пуним кружићем ако граница јесте решење — код \( \le \) и \( \ge \).
За решење \( x < 3 \) из Примера 12.1 бојимо целу полуправу лево од \( 3 \), а тачку \( 3 \) остављамо празну (није решење).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши неједначину \( 4{,}5\cdot x < -135 \).
Обе стране делимо позитивним бројем \( 4{,}5 \), па знак \( < \) остаје исти:
\[ 4{,}5\cdot x < -135 \;\; / : 4{,}5 \]
\[ \frac{4{,}5\cdot x}{4{,}5} < \frac{-135}{4{,}5} \]
\[ x < -30 \]
Одговор: \( x < -30 \).
Средњи задатак: Реши неједначину \( -8\cdot x < 0{,}56 \).
Обе стране делимо негативним бројем \( -8 \), па знак \( < \) мењамо у \( > \):
\[ -8\cdot x < 0{,}56 \;\; / : (-8) \]
\[ \frac{-8\cdot x}{-8} > \frac{0{,}56}{-8} \]
\[ x > -0{,}07 \]
Одговор: \( x > -0{,}07 \).
Тежак задатак: Реши неједначину \( \dfrac{3}{4} - 0{,}5\cdot z \ge 0{,}5 \).
Прво од обе стране одузмемо \( \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \), да непозната остане сама:
\[ \frac{3}{4} - 0{,}5\cdot z \ge 0{,}5 \;\; / - \frac{3}{4} \]
\[ -0{,}5\cdot z \ge 0{,}5 - 0{,}75 \]
\[ -0{,}5\cdot z \ge -0{,}25 \]
Сада обе стране делимо негативним бројем \( -0{,}5 \), па знак \( \ge \) мењамо у \( \le \):
\[ \frac{-0{,}5\cdot z}{-0{,}5} \le \frac{-0{,}25}{-0{,}5} \]
\[ z \le 0{,}5 \]
Одговор: \( z \le 0{,}5 \).
