Најважније из лекције
- Трапез је четвороугао са једним паром паралелних страница (основице).
- Збир углова на истом краку је увек \( 180^\circ \). Пример: ако је доњи угао \( 60^\circ \), горњи на истом краку је \( 120^\circ \).
- Једнакокраки трапез има једнаке краке, једнаке дијагонале и једнаке углове на истој основици.
- Средња линија (\( m \)) спаја средишта кракова, паралелна је основицама и рачуна се по формули \( m = \frac{a + b}{2} \).
Трапез је четвороугао чији је само један пар наспрамних страница паралелан.
Паралелне странице се називају основице (обично се означавају са \( a \) и \( b \)), док се непаралелне странице називају краци (\( c \) и \( d \)).
Постоје две карактеристичне врсте трапеза:
- Једнакокраки трапез: трапез чији су краци једнаких дужина (\( c = d \)).
- Правоугли трапез: трапез коме је један крак нормалан на основице (садржи два права угла).
Због паралелности основица, углови који належу на исти крак трапеза су суплементни (њихов збир је \( 180^\circ \)):
\[ \alpha + \delta = 180^\circ, \quad \beta + \gamma = 180^\circ \]
Један угао уз крак трапеза износи \( 65^\circ \). Колики је други угао уз тај исти крак?
Пошто су углови на истом краку суплементни, њихов збир је \( 180^\circ \).
Други угао је: \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).
Други угао је: \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).
Код једнакокраког трапеза, углови на истој основици су једнаки.
Дакле, \( \alpha = \beta \) (углови на дужој основици) и \( \gamma = \delta \) (углови на краћој основици).
Дакле, \( \alpha = \beta \) (углови на дужој основици) и \( \gamma = \delta \) (углови на краћој основици).
Дијагонале једнакокраког трапеза су једнаке (\( d_1 = d_2 \)).
Једнакокраки трапез има једну осу симетрије (симетрала основица) и око њега се може описати кружница чији је центар у пресеку симетрала страница.
Техника разлагања: Веома користан поступак у решавању задатака је разлагање трапеза на паралелограм и троугао. Ово се постиже повлачењем праве кроз теме краће основице тако да буде паралелна наспрамном краку. Код једнакокраког трапеза, добијени троугао је једнакокрак.
Ако је један угао једнакокраког трапеза \( 72^\circ \), одреди остале унутрашње углове.
Углови на истој основици су једнаки, па постоје два угла од \( 72^\circ \) (\( \alpha = \beta = 72^\circ \)).
Углови на краку су суплементни, па је угао на другој основици \( 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \).
Одговор: Углови трапеза су \( 72^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 108^\circ \).
Углови на краку су суплементни, па је угао на другој основици \( 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \).
Одговор: Углови трапеза су \( 72^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 108^\circ \).
Средња линија трапеза (\( m \)) је дуж чије су крајње тачке средишта кракова тог трапеза.
Средња линија трапеза је паралелна његовим основицама и по дужини је једнака њиховом полузбиру.
\[ m = \frac{a + b}{2} \]
где су \( a \) и \( b \) дужине основица трапеза.
Израчунај дужину средње линије трапеза чије су основице \( a = 12\text{ cm} \) и \( b = 8\text{ cm} \).
Користимо формулу за средњу линију:
\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак: Један од углова правоуглог трапеза износи \( 40^\circ \). Одреди остале унутрашње углове тог трапеза.
Правоугли трапез има два права угла (на краку који је нормалан на основице). Дакле, два угла су по \( 90^\circ \).
Преостала два угла се налазе на другом (косом) краку и они су суплементни. Ако је један \( 40^\circ \), други је \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Одговор: Углови су \( 90^\circ, 90^\circ, 40^\circ \) и \( 140^\circ \).
Преостала два угла се налазе на другом (косом) краку и они су суплементни. Ако је један \( 40^\circ \), други је \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Одговор: Углови су \( 90^\circ, 90^\circ, 40^\circ \) и \( 140^\circ \).
Средњи: Средња линија трапеза износи \( 15\text{ cm} \), а једна његова основица је дужине \( 11\text{ cm} \). Колика је дужина друге основице?
Користимо формулу \( m = \frac{a + b}{2} \).
Замењујемо познате вредности: \( 15 = \frac{11 + b}{2} \)
Множимо једначину са 2: \( 30 = 11 + b \)
\( b = 30 - 11 = 19\text{ cm} \).
Одговор: Дужина друге основице је \( 19\text{ cm} \).
Замењујемо познате вредности: \( 15 = \frac{11 + b}{2} \)
Множимо једначину са 2: \( 30 = 11 + b \)
\( b = 30 - 11 = 19\text{ cm} \).
Одговор: Дужина друге основице је \( 19\text{ cm} \).
Тежак: Код једнакокраког трапеза разлика два наспрамна угла износи \( 50^\circ \). Израчунај све унутрашње углове тог трапеза.
Нека су углови на дужој основици \( \alpha \), а на краћој \( \gamma \). Знамо да важи \( \alpha + \gamma = 180^\circ \) (јер су код једнакокраког трапеза наспрамни углови заправо суплементни, пошто је \( \gamma \) једнак улу \( \delta \) који је са \( \alpha \) на истом краку).
Из текста задатка имамо: \( \gamma - \alpha = 50^\circ \).
Решавамо систем:
\( \gamma = \alpha + 50^\circ \)
\( \alpha + (\alpha + 50^\circ) = 180^\circ \)
\( 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)
Одговор: Углови су \( 65^\circ, 65^\circ, 115^\circ \) и \( 115^\circ \).
Из текста задатка имамо: \( \gamma - \alpha = 50^\circ \).
Решавамо систем:
\( \gamma = \alpha + 50^\circ \)
\( \alpha + (\alpha + 50^\circ) = 180^\circ \)
\( 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)
Одговор: Углови су \( 65^\circ, 65^\circ, 115^\circ \) и \( 115^\circ \).
