Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Дијагонала дели четвороугао на два троугла; у сваком важи неједнакост троугла. Дијагонала гради троугао са страницама \( 10 \) и \( 15 \), а са страницом \( 9 \) и четвртом страницом \( x \) гради други троугао, где мора бити \( |d-9| < x < d+9 \).
а) \( d=6 \): троугао \( (10,15,6) \) постоји, па \( 3 < x < 15 \).
б) \( d=12 \): троугао \( (10,15,12) \) постоји, па \( 3 < x < 21 \).
в) \( d=25 \): \( 10+15=25 \) није веће од \( 25 \), троугао не постоји, па се тај четвороугао не може направити.
Детаљно решење
Идеја
Свака дијагонала дели четвороугао на два троугла. Пошто су нам дате три странице (\( 10 \) cm, \( 15 \) cm, \( 9 \) cm) и једна дијагонала \( d \), дијагонала са страницама од \( 10 \) cm и \( 15 \) cm гради један троугао, а са страницом од \( 9 \) cm и непознатом четвртом страницом \( x \) гради други троугао. У сваком троуглу мора да важи неједнакост троугла: свака страница је мања од збира, а већа од разлике преостале две.Први четвороугао: \( d = 6 \) cm
Прво проверавамо троугао од страница \( 10 \), \( 15 \) и дијагонале \( 6 \): пошто је \( 10 + 6 = 16 > 15 \), \( 6 + 15 > 10 \) и \( 10 + 15 > 6 \), троугао постоји. За други троугао (странице \( 9 \), \( d = 6 \) и \( x \)) мора бити \( |9 - 6| < x < 9 + 6 \), тј. \( 3 < x < 15 \). Дакле четврта страница може бити било која дужина између \( 3 \) cm и \( 15 \) cm.Други четвороугао: \( d = 12 \) cm
Троугао од \( 10 \), \( 15 \) и \( 12 \) постоји (\( 10 + 12 = 22 > 15 \), \( 10 + 15 > 12 \), \( 12 + 15 > 10 \)). За други троугао (странице \( 9 \), \( d = 12 \) и \( x \)) важи \( |12 - 9| < x < 12 + 9 \), тј. \( 3 < x < 21 \). Четврта страница може бити било која дужина између \( 3 \) cm и \( 21 \) cm.Трећи четвороугао: \( d = 25 \) cm
Проверавамо троугао од страница \( 10 \), \( 15 \) и дијагонале \( 25 \). Овде је \( 10 + 15 = 25 \), што није веће од \( 25 \). Неједнакост троугла није испуњена, па такав троугао не постоји. То значи да се дијагонала дужине \( 25 \) cm уопште не може конструисати уз странице \( 10 \) cm и \( 15 \) cm, па се ни трећи четвороугао не може направити. Због тога четврта страница нема ниједну могућу дужину.Закључак
а) \( 3\,\text{cm} < x < 15\,\text{cm} \); б) \( 3\,\text{cm} < x < 21\,\text{cm} \); в) четвороугао не постоји.Кратак запис решења:
а) \( 3\,\text{cm} < x < 15\,\text{cm} \); б) \( 3\,\text{cm} < x < 21\,\text{cm} \); в) не постоји (\( 10+15=25 \)).
