Најважније из лекције
- Основна формула: Површина паралелограма се рачуна као производ странице и одговарајуће висине: \( P = a \cdot h_a = b \cdot h_b \).
- Веза елемената: Производ једне странице и њене висине једнак је производу друге странице и њене висине.
- Ромб са \( 30^\circ \): Висина таквог ромба је увек једнака половини дужине његове странице (\( h = a : 2 \)).
- У координатном систему: Дужине се рачунају преко разлика координата, а након тога се примењује стандардна формула за површину.
Површина паралелограма једнака је производу његове странице и њој одговарајуће висине (висине која је нормална на ту страницу).
\[ P = a \cdot h_a = b \cdot h_b \]
где су \( a \) и \( b \) странице паралелограма, а \( h_a \) и \( h_b \) висине које њима одговарају.
До ове формуле долазимо закључком да се одсецањем правоуглог троугла са једне стране паралелограма и његовим премештањем на другу страну добија правоугаоник потпуно исте површине, чије су странице једнаке страници и висини паралелограма.
Израчунај површину паралелограма ако је позната страница \( a = 6 \text{ cm} \) и њој одговарајућа висина \( h_a = 4 \text{ cm} \).
Примењујемо формулу за површину:
\[ P = a \cdot h_a = 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2 \]
Ако су нам познате две странице паралелограма и једна висина, можемо лако израчунати другу висину користећи чињеницу да површина мора бити иста без обзира на то преко које странице је рачунамо (\( a \cdot h_a = b \cdot h_b \)).
\[ h_a = \frac{b \cdot h_b}{a} \quad \text{и} \quad h_b = \frac{a \cdot h_a}{b} \]
Странице паралелограма су \( a = 5 \text{ cm} \) и \( b = 10 \text{ cm} \). Ако је висина \( h_a = 6 \text{ cm} \), одреди висину \( h_b \).
Прво можемо израчунати површину преко странице \( a \):
\[ P = a \cdot h_a = 5 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2 \]
Сада ту површину користимо да нађемо \( h_b \):
\[ h_b = \frac{P}{b} = \frac{30}{10} = 3 \text{ cm} \]
Ромб је врста паралелограма чије су све странице једнаке (\( a = b \)), па има само једну висину (\( h \)). Површина се рачуна као \( P = a \cdot h \).
Ако ромб има оштар угао од \( 30^\circ \), висина која пада на страницу образује правоугли троугао чија је хипотенуза страница \( a \). Пошто је катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака половини хипотенузе, висина таквог ромба је дупло мања од његове странице (\( h = \frac{a}{2} \)).
Израчунај површину ромба чија је страница \( a = 8 \text{ cm} \), а један угао износи \( 30^\circ \).
Пошто је оштар угао \( 30^\circ \), висина ромба је половина странице:
\[ h = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \]
Сада рачунамо површину:
\[ P = a \cdot h = 8 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2 \]
Када је паралелограм нацртан у правоуглом координатном систему тако да му је једна страница паралелна једној од оса (нпр. \( x \)-оси), дужину странице и висину можемо одредити бројањем јединичних дужи или одузимањем координата.
Дужину странице паралелне са \( x \)-осом добијамо разликом \( x \) координата њених крајњих тачака.
Висину добијамо као апсолутну разлику \( y \) координата странице на којој лежи основица и њој наспрамне странице.
У координатном систему дат је паралелограм са теменима \( A(1, 1) \), \( B(5, 1) \), \( C(7, 4) \) и \( D(3, 4) \). Израчунај његову површину.
Страница \( AB \) је паралелна са \( x \)-осом. Њена дужина је разлика \( x \) координата тачака \( B \) и \( A \):
\[ a = 5 - 1 = 4 \text{ јединичне дужи} \]
Висина је удаљеност између правих на којима леже \( AB \) и \( CD \) (разлика њихових \( y \) координата):
\[ h = 4 - 1 = 3 \text{ јединичне дужи} \]
Површина је:
\[ P = a \cdot h = 4 \cdot 3 = 12 \text{ јединичних квадрата} \]
Задаци за вежбање
Лак: Страница паралелограма је \( 12 \text{ cm} \), а висина која њој одговара је \( 7 \text{ cm} \). Колика је површина тог паралелограма?
Примењујемо директно формулу:
\[ P = a \cdot h_a \]
\[ P = 12 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 84 \text{ cm}^2 \]
Средњи: Површина паралелограма је \( 54 \text{ cm}^2 \). Ако је страница \( a = 9 \text{ cm} \) и висина \( h_b = 3 \text{ cm} \), одреди страницу \( b \) и висину \( h_a \).
Из формуле \( P = a \cdot h_a \) рачунамо \( h_a \):
\[ h_a = \frac{P}{a} = \frac{54}{9} = 6 \text{ cm} \]
Из формуле \( P = b \cdot h_b \) рачунамо \( b \):
\[ b = \frac{P}{h_b} = \frac{54}{3} = 18 \text{ cm} \]
Тежак: Обим ромба је \( 40 \text{ cm} \), а један његов оштар угао износи \( 30^\circ \). Израчунај површину тог ромба.
Обим ромба је \( O = 4 \cdot a \). Одатле налазимо страницу:
\[ a = \frac{O}{4} = \frac{40}{4} = 10 \text{ cm} \]
Пошто је оштар угао \( 30^\circ \), висина ромба је половина странице:
\[ h = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]
Површина ромба је:
\[ P = a \cdot h = 10 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 50 \text{ cm}^2 \]
