Најважније из лекције
У основи свих ових формула лежи Питагорина теорема (\( c^2 = a^2 + b^2 \)). Било да се ради о правоугаонику, ромбу, трапезу или тачкама у координатној равни, суштина је увек иста: уочити прави угао, пронаћи одговарајући правоугли троугао (цртањем висине или дијагонале) и применити теорему на његове катете и хипотенузу.
Квадрат над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над катетама.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где су \( a \) и \( b \) катете, а \( c \) хипотенуза.
Израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла чије су катете \( a = 3\text{ cm} \) и \( b = 4\text{ cm} \).
Примењујемо Питагорину теорему:
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c^2 = 3^2 + 4^2 \)
\( c^2 = 9 + 16 \)
\( c^2 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \).
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c^2 = 3^2 + 4^2 \)
\( c^2 = 9 + 16 \)
\( c^2 = 25 \implies c = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \).
Правоугаоник: Дијагонала дели правоугаоник на два подударна правоугла троугла.
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
Квадрат: Дијагонала зависи само од једне странице.
\[ d = a\sqrt{2} \]
Ромб: Дијагонале се полове и секу под правим углом, формирајући четири правоугла троугла.
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
Једнакокраки троугао: Висина која одговара основици дели троугао на два подударна правоугла троугла.
\[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \]
Једнакостранични троугао: Све странице су једнаке (\( a \)). Формуле за висину и површину се изводе директно из Питагорине теореме.
Висина: \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]
Површина: \[ P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]
Једнакокраки трапез: Спуштањем висина из темена мање основице, издваја се правоугли троугао чије су катете висина \( h \) и део веће основице \( \frac{a - b}{2} \).
\[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \]
Правоугли трапез: Спуштањем висине из темена мање основице, формира се правоугли троугао чија је једна катета разлика основица \( (a - b) \).
\[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \]
Да бисмо израчунали удаљеност између две тачке у координатном систему, формирамо замишљени правоугли троугао чија је хипотенуза дуж која спаја те две тачке.
За тачке \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \):
\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Израчунај растојање између тачака \( A(1, 1) \) и \( B(4, 5) \).
\( x_1 = 1, y_1 = 1 \)
\( x_2 = 4, y_2 = 5 \)
\( |AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} \)
\( |AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( |AB| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
\( x_2 = 4, y_2 = 5 \)
\( |AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} \)
\( |AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( |AB| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај дужину дијагонале квадрата чија је страница \( a = 7\text{ cm} \).
Користимо формулу за дијагоналу квадрата:
\( d = a\sqrt{2} \)
\( d = 7\sqrt{2}\text{ cm} \).
\( d = a\sqrt{2} \)
\( d = 7\sqrt{2}\text{ cm} \).
Средњи: Израчунај обим ромба ако су његове дијагонале \( d_1 = 16\text{ cm} \) и \( d_2 = 12\text{ cm} \).
Прво рачунамо страницу ромба \( a \) помоћу Питагорине теореме:
\( a^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 \)
\( a^2 = 8^2 + 6^2 \)
\( a^2 = 64 + 36 = 100 \implies a = 10\text{ cm} \).
Обим ромба је:
\( O = 4a = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm} \).
\( a^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 \)
\( a^2 = 8^2 + 6^2 \)
\( a^2 = 64 + 36 = 100 \implies a = 10\text{ cm} \).
Обим ромба је:
\( O = 4a = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm} \).
Средњи: Израчунај висину и површину једнакостраничног троугла чија је страница \( a = 6\text{ cm} \).
Висина: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \).
Површина: \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
Површина: \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
Тежак: Код једнакокраког трапеза већа основица је \( a = 20\text{ cm} \), мања основица је \( b = 10\text{ cm} \), а висина \( h = 12\text{ cm} \). Израчунај дужину крака \( c \).
Користимо формулу за крак једнакокраког трапеза:
\( c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \)
Рачунамо део веће основице: \( \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm} \).
\( c^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( c^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( c = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \).
\( c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \)
Рачунамо део веће основице: \( \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm} \).
\( c^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( c^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( c = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \).
