Најважније из лекције
Најважније формуле везане за круг:
- Веза углова: Централни угао је дупло већи од периферијског (\( \alpha = 2\beta \)).
- Обим круга: \( O = 2r\pi \)
- Дужина лука: \( l = \frac{r\pi\alpha}{180^{\circ}} \)
- Површина круга: \( P = r^2\pi \)
- Површина исечка: \( P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^{\circ}} \) или \( P_i = \frac{lr}{2} \)
- Површина прстена: \( P_p = r_1^2\pi - r_2^2\pi \)
Круг \( K(O, r) \) јесте геометријска фигура коју чине кружница \( k(O, r) \) и њена унутрашња област.
Централни угао круга је угао чије је теме центар круга, а краци садрже полупречнике.
Периферијски угао круга је конвексан угао чије теме припада кружници, а краци садрже тетиве.
Централни угао је увек два пута већи од периферијског угла конструисаног над истим кружним луком.
\[ \alpha = 2\beta \]
Ако је периферијски угао над неким кружним луком \( 45^\circ \), колики је одговарајући централни угао?
Користимо правило \( \alpha = 2\beta \).
\( \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Централни угао је \( 90^\circ \).
\( \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \)
Одговор: Централни угао је \( 90^\circ \).
Количник дужине кружнице (обима) и пречника је константан број који се обележава грчким словом \( \pi \) (пи).
Дужина кружнице (Обим):
\[ O = 2r\pi \]
Кружни лук (\( l \)) јесте део кружнице између две тачке на њој. Сваком луку одговара један централни угао \( \alpha \).
Дужина кружног лука:
\[ l = \frac{r\pi\alpha}{180^{\circ}} \]
Израчунај дужину кружног лука ако је полупречник кружнице \( r = 10\text{ cm} \), а одговарајући централни угао \( \alpha = 36^\circ \).
\( l = \frac{r\pi\alpha}{180^{\circ}} \)
\( l = \frac{10 \cdot \pi \cdot 36^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi\text{ cm} \)
\( l = \frac{10 \cdot \pi \cdot 36^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi\text{ cm} \)
Површина круга:
\[ P = r^2\pi \]
Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника и кружним луком.
Површина кружног исечка:
\[ P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^{\circ}} = \frac{lr}{2} \]
Кружни прстен је део равни између два концентрична круга \( K_1(O, r_1) \) и \( K_2(O, r_2) \), где је \( r_1 > r_2 \).
Површина кружног прстена:
\[ P_p = r_1^2\pi - r_2^2\pi = \pi(r_1^2 - r_2^2) \]
Израчунај површину кружног прстена ако је полупречник већег круга \( 5\text{ cm} \), а мањег \( 4\text{ cm} \).
\( P_p = r_1^2\pi - r_2^2\pi \)
\( P_p = 5^2\pi - 4^2\pi = 25\pi - 16\pi = 9\pi\text{ cm}^2 \)
\( P_p = 5^2\pi - 4^2\pi = 25\pi - 16\pi = 9\pi\text{ cm}^2 \)
Ротација с центром \( O \) за угао \( \alpha \) у позитивном или негативном смеру је пресликавање којим се свака тачка \( A \) пресликава у тачку \( A' \).
Приликом ротације важе следећа правила:
- Удаљеност тачке од центра се не мења: \( OA = OA' \)
- Угао ротације је: \( \angle AOA' = \alpha \)
- Центар ротације \( O \) се пресликава у самог себе.
Позитиван смер ротације је смер супротан казаљци на сату, док је негативан смер једнак смеру казаљке на сату.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај обим и површину круга чији је полупречник \( r = 8\text{ cm} \).
Обим: \( O = 2r\pi = 2 \cdot 8\pi = 16\pi\text{ cm} \)
Површина: \( P = r^2\pi = 8^2\pi = 64\pi\text{ cm}^2 \)
Површина: \( P = r^2\pi = 8^2\pi = 64\pi\text{ cm}^2 \)
Средњи: Површина кружног исечка износи \( 12\pi\text{ cm}^2 \). Ако је полупречник круга \( r = 6\text{ cm} \), одреди централни угао \( \alpha \) који одговара том исечку.
Користимо формулу за површину исечка:
\[ P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^{\circ}} \]
Заменимо познате вредности:
\[ 12\pi = \frac{6^2\pi\alpha}{360^{\circ}} \]
\[ 12\pi = \frac{36\pi\alpha}{360^{\circ}} \]
Скратимо 36 и 360:
\[ 12 = \frac{\alpha}{10^{\circ}} \]
\[ \alpha = 12 \cdot 10^{\circ} = 120^{\circ} \]
Одговор: Централни угао је \( 120^\circ \).
Тежак: Кружни лук има дужину \( l = 4\pi\text{ cm} \), а полупречник круга је \( r = 12\text{ cm} \). Израчунај површину одговарајућег кружног исечка.
Најбржи начин је да се искористи друга формула за површину исечка која повезује дужину лука и полупречник:
\[ P_i = \frac{lr}{2} \]
\[ P_i = \frac{4\pi \cdot 12}{2} = \frac{48\pi}{2} = 24\pi\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина исечка је \( 24\pi\text{ cm}^2 \).
