V.6. Површина Кружног Исечка

Површина кружног исечка \( P_i \) полупречника \( r \) коме одговара централни угао \( \alpha \) рачуна се по формули: \[ P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \] Израчунавамо непознате вредности (означене знаком ☺) за сваку од 6 колона у табели:

Прва колона

Дато је: \( r = 6\text{ cm} \), \( \alpha = 150^\circ \). Непозната је површина исечка \( P_i \). Уврстимо вредности у формулу: \[ P_i = \frac{6^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot 150^\circ \] \[ P_i = \frac{\cancel{36}^1 \cdot \pi}{\cancel{360}_{10}} \cdot 150^\circ \] \[ P_i = \frac{\pi}{\cancel{10}_1} \cdot \cancel{150}^{15} = 15\pi\text{ cm}^2 \] Број који замењује знак ☺ у првој колони је \( 15\pi \).

Друга колона

Дато је: \( r = 3\text{ cm} \), \( P_i = \frac{\pi}{2}\text{ cm}^2 \). Непознат је централни угао \( \alpha \). \[ \frac{\pi}{2} = \frac{3^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot \alpha \] \[ \frac{\pi}{2} = \frac{\cancel{9}^1 \cdot \pi}{\cancel{360}_{40}^\circ} \cdot \alpha \] \[ \frac{\pi}{2} = \frac{\pi \cdot \alpha}{40^\circ} \] Дељењем обе стране са \( \pi \) и множењем са \( 40^\circ \) добијамо: \[ \alpha = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \] Број који замењује знак ☺ у другој колони је \( 20 \).

Трећа колона

Дато је: \( \alpha = 180^\circ \), \( P_i = 2\pi\text{ cm}^2 \). Непознат је полупречник \( r \). \[ 2\pi = \frac{r^2 \cdot \pi}{\cancel{360}_2^\circ} \cdot \cancel{180}^{1\circ} \] \[ 2\pi = \frac{r^2 \cdot \pi}{2} \] Дељењем обе стране са \( \pi \) добијамо: \[ 2 = \frac{r^2}{2} \] \[ r^2 = 4 \] Пошто је \( r > 0 \), следи: \[ r = 2\text{ cm} \] Број који замењује знак ☺ у трећој колони је \( 2 \).

Четврта колона

Дато је: \( r = 4\text{ cm} \), \( \alpha = 15^\circ \). Непозната је површина исечка \( P_i \). \[ P_i = \frac{4^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot 15^\circ \] \[ P_i = \frac{16\pi}{\cancel{360}_{24}^\circ} \cdot \cancel{15}^{1\circ} \] \[ P_i = \frac{\cancel{16}^2\pi}{\cancel{24}_3} = \frac{2\pi}{3}\text{ cm}^2 \] Број који замењује знак ☺ у четвртој колони је \( \frac{2\pi}{3} \).

Пета колона

Дато је: \( r = 6\text{ cm} \), \( P_i = \pi\text{ cm}^2 \). Непознат је централни угао \( \alpha \). \[ \pi = \frac{6^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot \alpha \] \[ \pi = \frac{\cancel{36}^1 \cdot \pi}{\cancel{360}_{10}^\circ} \cdot \alpha \] \[ \pi = \frac{\pi \cdot \alpha}{10^\circ} \] Дељењем обе стране са \( \pi \) добијамо: \[ 1 = \frac{\alpha}{10^\circ} \] \[ \alpha = 10^\circ \] Број који замењује знак ☺ у петој колони је \( 10 \).

Шеста колона

Дато је: \( \alpha = 72^\circ \), \( P_i = \frac{\pi}{5}\text{ cm}^2 \). Непознат је полупречник \( r \). \[ \frac{\pi}{5} = \frac{r^2 \cdot \pi}{\cancel{360}_5^\circ} \cdot \cancel{72}^{1\circ} \] \[ \frac{\pi}{5} = \frac{r^2 \cdot \pi}{5} \] Множењем обе стране са \( 5 \) и дељењем са \( \pi \) добијамо: \[ r^2 = 1 \] Пошто је \( r > 0 \), следи: \[ r = 1\text{ cm} \] Број који замењује знак ☺ у шестој колони је \( 1 \).

\[ P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ} \] 1. \( P_i = \frac{36\pi \cdot 150^\circ}{360^\circ} = 15\pi\text{ cm}^2 \) 2. \( \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi\alpha}{360^\circ} = \frac{\pi\alpha}{40^\circ} \implies \alpha = 20^\circ \) 3. \( 2\pi = \frac{r^2\pi \cdot 180^\circ}{360^\circ} = \frac{r^2\pi}{2} \implies r = 2\text{ cm} \) 4. \( P_i = \frac{16\pi \cdot 15^\circ}{360^\circ} = \frac{2\pi}{3}\text{ cm}^2 \) 5. \( \pi = \frac{36\pi\alpha}{360^\circ} = \frac{\pi\alpha}{10^\circ} \implies \alpha = 10^\circ \) 6. \( \frac{\pi}{5} = \frac{r^2\pi \cdot 72^\circ}{360^\circ} = \frac{r^2\pi}{5} \implies r = 1\text{ cm} \)