Најважније из лекције
Средња вредност (\( \bar{x} \)) је количник збира свих вредности узорка и њиховог укупног броја.
Медијана (Me) представља средњу вредност сортираног низа (средишњи елемент код непарног броја, или просек два средишња елемента код парног броја елемената).
Мод (Mo) представља вредност која се у узорку појављује највише пута.
Брзи пример за узорак 2, 4, 4, 6:
\( \bar{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
\( Me = \frac{4+4}{2} = 4 \) (два средња броја су 4 и 4)
\( Mo = 4 \) (број 4 се једини понавља)
Медијана (Me) представља средњу вредност сортираног низа (средишњи елемент код непарног броја, или просек два средишња елемента код парног броја елемената).
Мод (Mo) представља вредност која се у узорку појављује највише пута.
Брзи пример за узорак 2, 4, 4, 6:
\( \bar{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
\( Me = \frac{4+4}{2} = 4 \) (два средња броја су 4 и 4)
\( Mo = 4 \) (број 4 се једини понавља)
Популација је скуп свих елемената који се проучавају у неком статистичком истраживању.
Узорак је подскуп популације за који се стварно прикупљају подаци (када није могуће испитати целу популацију).
Обележје је карактеристика, особина или мера елемената која се испитује (нпр. висина, оцена, маса).
За сваки елемент узорка одређује се вредност обележја. На основу тих вредности рачунамо статистичке показатеље попут средње вредности, медијане и мода.
Средња вредност узорка (аритметичка средина или просек) је количник збира вредности обележја свих елемената и укупног броја елемената узорка.
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
Ознаке: \( \bar{x} \) - средња вредност, \( n \) - укупан број елемената, \( x_1, x_2, \dots, x_n \) - вредности обележја.
Средња вредност није мања од најмање, нити је већа од највеће вредности у датом узорку. Она не мора бити једнака ниједној од стварних вредности у узорку.
За узорак чије су вредности: 8, 5, 16, 4 и 2, број елемената је 5, а њихов збир је \( 8 + 5 + 16 + 4 + 2 = 35 \).
Средња вредност износи: \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Средња вредност износи: \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Израчунајте средњу вредност узорка: 10, 12, 14, 16.
Збир свих вредности је \( 10 + 12 + 14 + 16 = 52 \). Број елемената је 4.
\( \bar{x} = \frac{52}{4} = 13 \).
\( \bar{x} = \frac{52}{4} = 13 \).
Пре одређивања медијане, вредности обележја се обавезно морају поређати од најмање до највеће!
Медијана (Me) се одређује у зависности од тога да ли је број елемената паран или непаран:
Непаран број елемената: Медијана је вредност обележја тачно средњег елемента у низу.
Паран број елемената: Медијана је средња вредност (просек) два средња елемента у низу.
Непаран број елемената (7): За сортиран низ 3, 6, 8, 9, 13, 14, 16, средњи елемент је четврти по реду. Дакле, \( Me = 9 \).
Паран број елемената (8): За сортиран низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52, два средња елемента су 23 и 41. Дакле, \( Me = \frac{23+41}{2} = 32 \).
Паран број елемената (8): За сортиран низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52, два средња елемента су 23 и 41. Дакле, \( Me = \frac{23+41}{2} = 32 \).
Одредите медијану за узорак: 15, 7, 12, 9, 20.
Прво морамо поређати бројеве по величини: 7, 9, 12, 15, 20.
Укупан број елемената је 5 (непаран број), па узимамо средњи елемент.
Одговор: \( Me = 12 \).
Укупан број елемената је 5 (непаран број), па узимамо средњи елемент.
Одговор: \( Me = 12 \).
Мод узорка (Mo) јесте вредност обележја која се у узорку појављује највећи број пута (има највећу учесталост).
Узорак може имати више од једног мода ако више различитих вредности деле исту, највећу учесталост појављивања.
За узорак 6, 7, 5, 5, 6, 5, вредност 5 се појављује три пута, што је највише. Мод је \( Mo = 5 \).
За узорак 8, 7, 7, 5, 8, 6, 8, 6, 6, бројеви 6 и 8 се појављују по три пута. Узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
За узорак 8, 7, 7, 5, 8, 6, 8, 6, 6, бројеви 6 и 8 се појављују по три пута. Узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
Одредите мод за узорак: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9.
Бројеви 4 и 7 се појављују највише пута (по три пута), док се остали бројеви појављују ређе.
Одговор: Узорак има два мода: \( Mo = 4 \) и \( Mo = 7 \).
Одговор: Узорак има два мода: \( Mo = 4 \) и \( Mo = 7 \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је узорак података: 1, 3, 3, 5, 5, 5, 8. Колика је вредност мода овог узорка?
Тражимо број који се појављује највећи број пута. Број 5 се појављује три пута.
Одговор: \( Mo = 5 \).
Одговор: \( Mo = 5 \).
Средњи: Ученик је из математике добио следеће оцене: 4, 2, 5, 3, 4, 5. Одредите медијану његових оцена.
Корак 1: Поређати оцене од најмање до највеће: 2, 3, 4, 4, 5, 5.
Корак 2: Број елемената је 6 (паран број), па посматрамо два средња елемента, а то су 4 и 4.
Корак 3: Израчунавамо њихову средњу вредност: \( Me = \frac{4+4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Одговор: Медијана је \( Me = 4 \).
Корак 2: Број елемената је 6 (паран број), па посматрамо два средња елемента, а то су 4 и 4.
Корак 3: Израчунавамо њихову средњу вредност: \( Me = \frac{4+4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Одговор: Медијана је \( Me = 4 \).
Тежак: Средња вредност три броја износи 15. Ако су два од тих бројева 10 и 20, одредите који је трећи број.
Нека је непознати трећи број означен са \( x \).
Формула за средњу вредност три броја је: \( \frac{10 + 20 + x}{3} = 15 \).
Сређујемо једначину: \( \frac{30 + x}{3} = 15 \).
Множењем обе стране једначине са 3 добијамо: \( 30 + x = 45 \).
Одатле је \( x = 45 - 30 = 15 \).
Одговор: Трећи број је 15.
Формула за средњу вредност три броја је: \( \frac{10 + 20 + x}{3} = 15 \).
Сређујемо једначину: \( \frac{30 + x}{3} = 15 \).
Множењем обе стране једначине са 3 добијамо: \( 30 + x = 45 \).
Одатле је \( x = 45 - 30 = 15 \).
Одговор: Трећи број је 15.
