Најважније из лекције
Множење/Дељење степена: Код истих основа, изложиоци се сабирају при множењу (\( a^{m+n} \)), а одузимају при дељењу (\( a^{m-n} \)).
Операције са полиномима: Сабирају се само слични мономи. Полиноми се множе тако што се сваки члан помножи са сваким.
Важне формуле: Квадрат бинома: \( (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \)
Разлика квадрата: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \)
Операције са полиномима: Сабирају се само слични мономи. Полиноми се множе тако што се сваки члан помножи са сваким.
Важне формуле: Квадрат бинома: \( (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \)
Разлика квадрата: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \)
Степеновање је скраћени запис множења истог броја (основе) самим собом одређени број пута (изложилац).
За \( a \in \mathbb{R} \) и \( n \in \mathbb{N} \) важи:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ чинилаца}} \]
За \( n \in \mathbb{N} \), дефинише се степен са негативним изложиоцем (за основу 10):
\[ 10^{-n} = \frac{1}{10^n} \]
Пример: \( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
Пример: \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \)
Пример: \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \)
Израчунај вредност израза \( 2^4 \).
Одговор: \( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
Приликом рачунања са степенима, користимо следећа правила како бисмо упростили изразе.
Множење и дељење степена истих основа:
Множење: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
Дељење (\( a \neq 0, m > n \)): \( a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Множење: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
Дељење (\( a \neq 0, m > n \)): \( a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Степеновање производа, количника и степена:
Степен производа: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
Степен количника (\( b \neq 0 \)): \( a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \)
Степеновање степена: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Степен производа: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
Степен количника (\( b \neq 0 \)): \( a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \)
Степеновање степена: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Упрости израз: \( (x^3 \cdot x^5) : x^2 \)
Одговор: Прво множимо (сабирамо изложиоце), а затим делимо (одузимамо изложиоце):
\( (x^3 \cdot x^5) : x^2 = x^{3+5} : x^2 = x^8 : x^2 = x^{8-2} = x^6 \)
\( (x^3 \cdot x^5) : x^2 = x^{3+5} : x^2 = x^8 : x^2 = x^{8-2} = x^6 \)
Слични мономи су они мономи који имају потпуно исти променљиви део (иста слова са истим изложиоцима).
Збир сличних монома: Сабирају се само њихови коефицијенти, а променљиви део остаје исти.
Збир полинома се добија када се полиноми саберу и сведу на сређени облик (сабирањем сличних монома у њима).
Збир полинома се добија када се полиноми саберу и сведу на сређени облик (сабирањем сличних монома у њима).
Производ монома: Множе се коефицијент са коефицијентом, а променљиви део са променљивим делом.
Производ полинома: Добија се тако што се сваки члан првог полинома помножи са сваким чланом другог полинома, након чега се добијени полином среди.
Производ полинома: Добија се тако што се сваки члан првог полинома помножи са сваким чланом другог полинома, након чега се добијени полином среди.
Множење полинома: \( (x + 2)(y + 3) = x \cdot y + x \cdot 3 + 2 \cdot y + 2 \cdot 3 = xy + 3x + 2y + 6 \)
Квадрат бинома (збир и разлика):
\[ (M + N)^2 = M^2 + 2MN + N^2 \]
\[ (M - N)^2 = M^2 - 2MN + N^2 \]
Разлика квадрата:
\[ M^2 - N^2 = (M + N)(M - N) \]
Раставити полином на чиниоце значи представити га као производ два или више полинома (обично коришћењем извлачења заједничког чиниоца или горе наведених формула).
Примени формулу за разлику квадрата да би раставио израз: \( 25x^2 - 16 \)
Одговор: Препознајемо да је \( 25x^2 = (5x)^2 \) и \( 16 = 4^2 \).
Применом формуле \( M^2 - N^2 = (M - N)(M + N) \), добијамо:
\( (5x)^2 - 4^2 = (5x - 4)(5x + 4) \)
Применом формуле \( M^2 - N^2 = (M - N)(M + N) \), добијамо:
\( (5x)^2 - 4^2 = (5x - 4)(5x + 4) \)
Задаци за вежбање
Лак: Упрости израз коришћењем правила за степеновање: \( (a^4)^3 \cdot a^2 \).
Прво степенујемо степен (множимо изложиоце), а онда множимо степене (сабирамо изложиоце):
\( (a^4)^3 \cdot a^2 = a^{4 \cdot 3} \cdot a^2 = a^{12} \cdot a^2 = a^{12+2} = a^{14} \)
\( (a^4)^3 \cdot a^2 = a^{4 \cdot 3} \cdot a^2 = a^{12} \cdot a^2 = a^{12+2} = a^{14} \)
Средњи: Помножи полиноме и среди добијени израз: \( (2x - 1)(x + 4) \).
Множимо сваки члан са сваким:
\( (2x - 1)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 \)
\( = 2x^2 + 8x - x - 4 \)
Спајамо сличне мономе (\( 8x - x \)):
\( = 2x^2 + 7x - 4 \)
\( (2x - 1)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 \)
\( = 2x^2 + 8x - x - 4 \)
Спајамо сличне мономе (\( 8x - x \)):
\( = 2x^2 + 7x - 4 \)
Тежак: Квадрирај бином, а затим среди полином: \( (3x + 2)^2 - 9x^2 \).
Прво примењујемо формулу за квадрат бинома: \( (M+N)^2 = M^2 + 2MN + N^2 \).
\( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)
Сада то убацујемо у почетни израз:
\( (9x^2 + 12x + 4) - 9x^2 = 9x^2 - 9x^2 + 12x + 4 = 12x + 4 \)
Одговор: \( 12x + 4 \)
\( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)
Сада то убацујемо у почетни израз:
\( (9x^2 + 12x + 4) - 9x^2 = 9x^2 - 9x^2 + 12x + 4 = 12x + 4 \)
Одговор: \( 12x + 4 \)
