Најважније из лекције
Број \(\pi\): Константа која представља количник обима и пречника круга. Најчешће се узима \(\pi \approx 3,14\).
Формула за обим: Обим круга се рачуна по формули \(O = 2r\pi\) (где је \(r\) полупречник) или \(O = d\pi\) (где је \(d\) пречник).
Ротација точка: Један пун обртај точка прелази пут једнак његовом обиму.
Правилни многоуглови: Примените одговарајуће формуле за полупречнике уписаног (\(r\)) и описаног (\(R\)) круга зависно од облика (квадрат, троугао, шестоугао) како бисте израчунали њихов обим.
Формула за обим: Обим круга се рачуна по формули \(O = 2r\pi\) (где је \(r\) полупречник) или \(O = d\pi\) (где је \(d\) пречник).
Ротација точка: Један пун обртај точка прелази пут једнак његовом обиму.
Правилни многоуглови: Примените одговарајуће формуле за полупречнике уписаног (\(r\)) и описаног (\(R\)) круга зависно од облика (квадрат, троугао, шестоугао) како бисте израчунали њихов обим.
Количник дужине кружнице (обима) и дужине њеног пречника је сталан (константан) број за сваки круг. Тај број се обележава словом грчког алфабета \(\pi\) (чита се: „пи”).
Број \(\pi\) је ирационалан број, што значи да има бесконачан непериодичан децимални запис (\(3,14159265...\)). У пракси се најчешће користе приближне вредности: \(\pi \approx 3,14\) или \(\pi \approx 3,1\).
Приликом записа производа неког броја и броја \(\pi\), знак за множење се обично изоставља. На пример, пишемо \(5\pi\) уместо \(5 \cdot \pi\).
Обим круга је дужина одговарајуће кружнице која га ограничава.
\[ O = 2r\pi \]
где је \(O\) обим круга, а \(r\) полупречник круга.
Пошто је пречник круга \(d\) једнак двоструком полупречнику (\(d = 2r\)), формула за обим се може записати и као \(O = d\pi\).
Ако је полупречник круга \(r = 5 \text{ cm}\), његов обим је:
\(O = 2 \cdot 5 \cdot \pi \text{ cm} = 10\pi \text{ cm}\).
Ако узмемо приближну вредност \(\pi \approx 3,14\), тада је \(O \approx 10 \cdot 3,14 \text{ cm} = 31,4 \text{ cm}\).
\(O = 2 \cdot 5 \cdot \pi \text{ cm} = 10\pi \text{ cm}\).
Ако узмемо приближну вредност \(\pi \approx 3,14\), тада је \(O \approx 10 \cdot 3,14 \text{ cm} = 31,4 \text{ cm}\).
Одреди дужину полупречника \(r\) и пречника \(d\) ако је обим круга \(15,7 \text{ cm}\). (Узети \(\pi \approx 3,14\))
Како је формула за обим \(O = 2r\pi\), важи:
\(15,7 = 2r \cdot 3,14\)
\(15,7 = 6,28 \cdot r\)
\(r = 15,7 : 6,28 = 2,5 \text{ cm}\)
Пречник је двоструко већи: \(d = 2 \cdot 2,5 = 5 \text{ cm}\).
\(15,7 = 2r \cdot 3,14\)
\(15,7 = 6,28 \cdot r\)
\(r = 15,7 : 6,28 = 2,5 \text{ cm}\)
Пречник је двоструко већи: \(d = 2 \cdot 2,5 = 5 \text{ cm}\).
За израчунавање обима описаног или уписаног круга код правилних многоуглова, потребно је знати формуле које повезују страницу многоугла (\(a\)) и полупречнике тих кругова (\(R\) за описани, \(r\) за уписани).
| Многоугао | Полупречник описаног круга (\(R\)) | Полупречник уписаног круга (\(r\)) |
|---|---|---|
| Квадрат | \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) | \(r = \frac{a}{2}\) |
| Једнакостранични троугао | \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) | \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) |
| Правилни шестоугао | \(R = a\) | \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) |
Израчунавање обима уписаног круга квадрата странице \(a = 4 \text{ cm}\):
Полупречник уписаног круга је \(r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}\).
Обим уписаног круга је \(O = 2r\pi = 2 \cdot 2 \cdot \pi = 4\pi \text{ cm}\).
Полупречник уписаног круга је \(r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}\).
Обим уписаног круга је \(O = 2r\pi = 2 \cdot 2 \cdot \pi = 4\pi \text{ cm}\).
Пут који точак пређе док направи тачно један пун обртај једнак је обиму тог точка (\(O\)).
Укупан пређени пут (\(s\)) једнак је производу броја обртаја (\(n\)) и обима точка: \[ s = n \cdot O \]
Укупан пређени пут (\(s\)) једнак је производу броја обртаја (\(n\)) и обима точка: \[ s = n \cdot O \]
Ако је полупречник точка на бициклу \(40 \text{ cm}\), колики ће пут бицикл прећи након \(100\) пуних обртаја точка? (Узети \(\pi \approx 3,14\))
Прво рачунамо обим точка (пут током једног обртаја):
\(O = 2r\pi \approx 2 \cdot 40 \cdot 3,14 = 80 \cdot 3,14 = 251,2 \text{ cm}\)
За \(100\) обртаја пређени пут је:
\(s = 100 \cdot O = 100 \cdot 251,2 = 25\,120 \text{ cm} = 251,2 \text{ m}\).
\(O = 2r\pi \approx 2 \cdot 40 \cdot 3,14 = 80 \cdot 3,14 = 251,2 \text{ cm}\)
За \(100\) обртаја пређени пут је:
\(s = 100 \cdot O = 100 \cdot 251,2 = 25\,120 \text{ cm} = 251,2 \text{ m}\).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај обим круга чији је пречник \(d = 12 \text{ cm}\).
Користимо формулу \(O = d\pi\).
\(O = 12\pi \text{ cm}\).
\(O = 12\pi \text{ cm}\).
Средњи: Обим описаног круга једнакостраничног троугла износи \(4\sqrt{3}\pi \text{ cm}\). Колики је полупречник тог описаног круга (\(R\)) и колика је страница троугла (\(a\))?
Из формуле за обим \(O = 2R\pi\) следи:
\(4\sqrt{3}\pi = 2R\pi\) (делимо са \(\pi\))
\(4\sqrt{3} = 2R \implies R = 2\sqrt{3} \text{ cm}\)
Из везе полупречника описаног круга и странице једнакостраничног троугла \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) добијамо:
\(2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Множимо једначину са \(3\):
\(6\sqrt{3} = a\sqrt{3} \implies a = 6 \text{ cm}\).
\(4\sqrt{3}\pi = 2R\pi\) (делимо са \(\pi\))
\(4\sqrt{3} = 2R \implies R = 2\sqrt{3} \text{ cm}\)
Из везе полупречника описаног круга и странице једнакостраничног троугла \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) добијамо:
\(2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Множимо једначину са \(3\):
\(6\sqrt{3} = a\sqrt{3} \implies a = 6 \text{ cm}\).
Тежак: Стаза за трчање дуга је \(7,8 \text{ km}\). Бициклиста прелази ову стазу, при чему се точак његовог бицикла окрене тачно \(4\,000\) пута. Колики је пречник точка овог бицикла у метрима? (Узети \(\pi \approx 3\))
Претворимо дужину стазе у метре: \(s = 7,8 \text{ km} = 7\,800 \text{ m}\).
Укупан пут једнак је \(s = n \cdot O\), где је \(n = 4\,000\) број обртаја.
Налазимо обим точка: \(O = \frac{s}{n} = \frac{7\,800}{4\,000} = 1,95 \text{ m}\).
Користимо формулу за обим преко пречника \(O = d\pi\):
\(1,95 \approx d \cdot 3\)
\(d = 1,95 : 3 = 0,65 \text{ m}\).
Одговор: Пречник точка је \(0,65 \text{ m}\) (односно \(65 \text{ cm}\)).
\(1,95 \approx d \cdot 3\)
\(d = 1,95 : 3 = 0,65 \text{ m}\).
