Најважније из лекције
- Кружница и круг: Кружница је само спољна линија, док круг обухвата и унутрашњу област. Пречник је најдужа тетива: \( d = 2r \).
- Угао: Сваки угао над пречником је прав (\( 90^\circ \)).
- Права и круг: Права може бити сечица (\( d < r \), сече круг), тангента (\( d = r \), додирује круг) или да нема заједничких тачака (\( d > r \)).
- Два круга: Међусобни однос зависи од растојања њихових центара у односу на збир и разлику њихових полупречника (секу се, додирују споља/изнутра, немају додирних тачака).
Кружница (кружна линија) је затворена линија коју чине све тачке једне равни које су на датом растојању од дате тачке (центра) те равни.
Круг је геометријска фигура коју чине кружница и њена унутрашња област.
Кружница се означава са \( k(O, r) \), а круг са \( K(O, r) \), где је \( O \) центар, а \( r \) полупречник.
Тачка може имати три положаја у односу на круг (зависно од растојања тачке од центра \( O \)):
- Припада кружници: растојање је једнако \( r \).
- У унутрашњој је области (припада кругу): растојање је мање од \( r \).
- У спољашњој је области (не припада кругу): растојање је веће од \( r \).
Тетива кружнице је дуж чије крајње тачке припадају тој кружници.
Пречник кружнице је најдужа тетива која садржи центар те кружнице.
Дужина пречника (\( d \)) је два пута већа од дужине полупречника (\( r \)):
\[ d = 2r \]
Централно одстојање тетиве јесте растојање центра круга и подножја нормале из центра на ту тетиву. За израчунавање дужине тетиве, полупречника или централног одстојања користи се Питагорина теорема, јер висина из центра дели тетиву на два једнака дела.
Ако је полупречник круга \( r = 5 \text{ cm} \), а дужина тетиве \( AB = 8 \text{ cm} \), израчунај њено централно одстојање.
Нека је \( C \) подножје нормале из центра \( O \) на тетиву \( AB \).
Дуж \( OC \) дели тетиву на два једнака дела, па је \( CA = \frac{1}{2} AB = 4 \text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме на правоугли троугао \( OCA \):
\[ OA^2 = OC^2 + CA^2 \]
\[ 5^2 = OC^2 + 4^2 \]
\[ 25 = OC^2 + 16 \implies OC^2 = 9 \implies OC = 3 \text{ cm} \]
Одговор: Централно одстојање је \( 3 \text{ cm} \).
Угао над пречником \( AB \) јесте угао чије теме припада кружници (а није \( A \) ни \( B \)), а краци пролазе кроз крајње тачке пречника.
Угао над пречником кружнице (круга) је увек прав угао (\( 90^\circ \)).
Положај зависи од растојања \( d \) између центра круга и праве, у односу на полупречник \( r \).
| Услов | Назив праве | Број заједничких тачака |
|---|---|---|
| \( d > r \) | Нема посебан назив | 0 (Немају заједничких тачака) |
| \( d = r \) | Тангента | 1 (Додирна тачка) - Нормална је на полупречник у тачки додира |
| \( d < r \) | Сечица | 2 (Формирају тетиву) |
Положај два круга зависи од растојања \( d \) између њихових центара и дужина њихових полупречника \( r_1 \) и \( r_2 \) (где је \( r_1 \geq r_2 \)).
| Услов за растојање \( d \) | Међусобни положај | Број заједничких тачака |
|---|---|---|
| \( d > r_1 + r_2 \) | Један ван другог | 0 |
| \( d = r_1 + r_2 \) | Додирују се споља | 1 |
| \( r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2 \) | Секу се | 2 |
| \( d = r_1 - r_2 \) | Додирују се изнутра | 1 |
| \( 0 < d < r_1 - r_2 \) | Мањи је унутар већег | 0 |
| \( d = 0 \) | Концентрични кругови | 0 (имају исти центар) |
Задаци за вежбање
Лак: Дужина најдуже тетиве круга износи \( 14 \text{ cm} \). Колика је дужина полупречника тог круга?
Најдужа тетива круга је пречник (\( d \)).
\( d = 14 \text{ cm} \)
\( d = 2r \implies 2r = 14 \implies r = 7 \text{ cm} \).
Одговор: Полупречник је \( 7 \text{ cm} \).
\( d = 14 \text{ cm} \)
\( d = 2r \implies 2r = 14 \implies r = 7 \text{ cm} \).
Одговор: Полупречник је \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Дата је кружница \( k(O, 6 \text{ cm}) \) и права \( p \). Ако је растојање од центра \( O \) до праве \( p \) тачно \( 6 \text{ cm} \), како се назива права \( p \) у односу на кружницу и колико заједничких тачака имају?
Растојање од центра до праве је \( d = 6 \text{ cm} \).
Полупречник је \( r = 6 \text{ cm} \).
Пошто је \( d = r \), права и кружница имају тачно једну заједничку тачку.
Одговор: Права се назива тангента и имају једну заједничку тачку.
Полупречник је \( r = 6 \text{ cm} \).
Пошто је \( d = r \), права и кружница имају тачно једну заједничку тачку.
Одговор: Права се назива тангента и имају једну заједничку тачку.
Тежак: Дати су кругови \( K_1(O_1, 9 \text{ cm}) \) и \( K_2(O_2, 4 \text{ cm}) \). Ако се ови кругови додирују изнутра, колико износи растојање између њихових центара \( O_1 \) и \( O_2 \)? Шта би било да се додирују споља?
Нека је растојање између центара \( d \). Дати су полупречници \( r_1 = 9 \text{ cm} \) и \( r_2 = 4 \text{ cm} \).
1. Када се кругови додирују изнутра, важи формула: \[ d = r_1 - r_2 = 9 - 4 = 5 \text{ cm} \] 2. Када би се кругови додирују споља, важила би формула: \[ d = r_1 + r_2 = 9 + 4 = 13 \text{ cm} \]
Одговор: Растојање при унутрашњем додиру је \( 5 \text{ cm} \), а при спољашњем \( 13 \text{ cm} \).
1. Када се кругови додирују изнутра, важи формула: \[ d = r_1 - r_2 = 9 - 4 = 5 \text{ cm} \] 2. Када би се кругови додирују споља, важила би формула: \[ d = r_1 + r_2 = 9 + 4 = 13 \text{ cm} \]
Одговор: Растојање при унутрашњем додиру је \( 5 \text{ cm} \), а при спољашњем \( 13 \text{ cm} \).
