I.7.5. Забавна Страна

Правило по коме се ниже децимале

Уочавамо правило: сваки природан број \( n \) се у децималном запису понавља \( n \) пута. \[ \underbrace{1}_{1\text{ пут}},\ \underbrace{22}_{2\text{ пута}},\ \underbrace{333}_{3\text{ пута}},\ \dots,\ \underbrace{999999999}_{9\text{ пута}},\ \underbrace{10\,10\,10\dots}_{10\text{ пута}},\ \dots \] Тражимо цифру која се налази на 2025. децималном месту.

1) Колико места заузимају једноцифрени бројеви (1 до 9)

Бројеви од \(1\) до \(9\) су једноцифрени, па свака појава заузима 1 место. Пошто се број \( n \) понавља \( n \) пута, он заузима тачно \( n \) места. Укупно место које заузимају сви једноцифрени бројеви је: \[ 1+2+3+4+5+6+7+8+9. \] Саберимо упаривањем крајева: \[ (1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)+9 = 9+9+9+9+9 = 45. \] Дакле, првих \( 45 \) децимала попуне бројеви од \(1\) до \(9\). Место \(2025\) је далеко иза тога, па настављамо са двоцифреним бројевима.

2) Колико места заузима сваки двоцифрени број

За двоцифрен број \( n \) (\( n \ge 10 \)) свака појава заузима 2 места, а понавља се \( n \) пута, па он заузима: \[ 2 \cdot n \ \text{места}. \]

3) Колико места још треба попунити

После једноцифрених бројева попуњено је \(45\) места. До места \(2025\) остаје: \[ 2025 - 45 = 1980 \ \text{места}. \] Ова места попуњавају двоцифрени бројеви почев од \(10\). Тражимо до ког броја \( N \) двоцифрени бројеви попуне тачно \(1980\) места, тј. збир њихових доприноса \(2\cdot 10 + 2\cdot 11 + \dots + 2\cdot N\) треба да буде \(1980\). Пошто је сваки допринос удвостручена вредност броја, довољно је да сам збир бројева буде половина: \[ 10 + 11 + 12 + \dots + N = \frac{1980}{2} = 990. \]

4) Проналажење броја N сабирањем по групама

Сабирамо бројеве почев од \(10\), груписане по десет, док не стигнемо до \(990\). У свакој десетици упаримо крајеве: \[ 10+11+\dots+19 = (10+19)\cdot 5 = 29 \cdot 5 = 145, \] \[ 20+21+\dots+29 = (20+29)\cdot 5 = 49 \cdot 5 = 245, \] \[ 30+31+\dots+39 = (30+39)\cdot 5 = 69 \cdot 5 = 345. \] Збир до \(39\): \[ 145 + 245 + 345 = 735. \] До \(990\) недостаје \( 990 - 735 = 255 \). Настављамо од \(40\): \[ 40+41+42+43+44+45 = (40+45)+(41+44)+(42+43) = 85+85+85 = 255. \] Тачно \(255\)! Значи да збир достиже \(990\) баш код броја \( N = 45 \): \[ 10+11+\dots+45 = 735 + 255 = 990. \]

5) Провера положаја места 2025

Двоцифрени бројеви од \(10\) до \(45\) попуне: \[ 2 \cdot 990 = 1980 \ \text{места}. \] Заједно са \(45\) места једноцифрених бројева: \[ 45 + 1980 = 2025 \ \text{места}. \] Дакле, место \(2025\) је тачно последње место које попуњава број \(45\).

6) Одређивање тражене цифре

Број \(45\) се пише као низ „\(4545\dots45\)“ (понавља се \(45\) пута). Последња цифра тог низа, а самим тим и \(2025.\) децимала, јесте цифра \(5\). \[ \boxed{2025.\ \text{децимала} = 5} \]

Једноцифрени \(1{-}9\) дају \(1+\dots+9=45\) места. Остаје \(2025-45=1980\); двоцифрен \(n\) даје \(2n\) места, па тражимо \(10+\dots+N=990\). Сабирањем: \(10+\dots+45=990\), тј. \(45+2\cdot990=2025\). Место \(2025\) је последња цифра низа \(45\), дакле \(\boxed{5}\).