Најважније из лекције
Многоуглови: Број дијагонала је \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \), а збир углова \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \).
Троугао: Тежишне дужи се секу у тежишту, а висине у ортоцентру.
Специфичне формуле:
Троугао: Тежишне дужи се секу у тежишту, а висине у ортоцентру.
Специфичне формуле:
- Једнакостранични троугао: Површина \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), висина \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
- Квадрат: Дијагонала \( d = a\sqrt{2} \), површина \( P = a^2 \) или \( P = \frac{d^2}{2} \).
- Правилни шестоугао: Састоји се од 6 једнакостраничних троуглова, површина је \( P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \). Велике дијагонале су дупло дуже од странице (\( d_1 = 2a \)).
Многоугао је геометријска фигура коју чине многоугаона линија и одговарајућа унутрашња област.
Обим многоугла (\(O\)) јесте збир дужина свих страница многоугла.
У следећим формулама, \( n \) представља број темена (или страница) многоугла, где је \( n \in \mathbb{N}, n \ge 3 \).
\[ d_n = n - 3 \]
Број дијагонала из једног темена многоугла (\(d_n\))
\[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \]
Укупан број дијагонала многоугла (\(D_n\))
\[ S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Збир унутрашњих углова многоугла (\(S_n\))
Израчунај укупан број дијагонала и збир унутрашњих углова петоугла.
За петоугао је \( n = 5 \).
Укупан број дијагонала: \( D_5 = \frac{5(5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \)
Збир унутрашњих углова: \( S_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \)
Укупан број дијагонала: \( D_5 = \frac{5(5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \)
Збир унутрашњих углова: \( S_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \)
Правилан многоугао јесте многоугао чије су све странице једнаке и сви углови једнаки.
\[ P = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} \]
Површина правилног многоугла (\(P\)) који има \( n \) страница дужине \( a \) и чија уписана кружница има полупречник дужине \( r \).
Тежишна дуж троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга средиште наспрамне странице.
Све три тежишне дужи троугла секу се у једној тачки која се назива тежиште троугла.
Све три праве које садрже висине троугла секу се у једној тачки која се назива ортоцентар троугла.
Преглед најважнијих формула за једнакостранични троугао, квадрат и правилни шестоугао (странице \(a\)).
| Фигура | Специфичне дужи | Полупречници (\(R\) и \(r\)) | Обим и Површина |
|---|---|---|---|
| Једнакостранични троугао | Висина: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) |
Описана: \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) Уписана: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \) |
\( O = 3a \) \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Квадрат | Дијагонала: \( d = a\sqrt{2} \) |
Описана: \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) Уписана: \( r = \frac{a}{2} \) |
\( O = 4a \) \( P = a^2 = \frac{d^2}{2} \) |
| Правилни шестоугао | Велика дијаг: \( d_1 = 2a \) Мала дијаг: \( d_2 = a\sqrt{3} \) |
Описана: \( R = a \) Уписана: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) |
\( O = 6a \) \( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \) |
Код једнакостраничног троугла важи веза између полупречника и висине: \( R = \frac{2}{3}h \) и \( r = \frac{1}{3}h \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину и обим квадрата чија је страница \( a = 5 \text{ cm} \).
Формула за обим: \( O = 4a \)
\( O = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm} \)
Формула за површину: \( P = a^2 \)
\( P = 5^2 = 25 \text{ cm}^2 \)
\( O = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm} \)
Формула за површину: \( P = a^2 \)
\( P = 5^2 = 25 \text{ cm}^2 \)
Средњи: Колико страница има многоугао чији је збир унутрашњих углова \( 1080^\circ \)?
Користимо формулу за збир унутрашњих углова: \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \)
\( 1080^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ \)
\( n - 2 = 1080^\circ : 180^\circ \)
\( n - 2 = 6 \)
\( n = 8 \)
Одговор: Многоугао има 8 страница (осмоугао).
\( 1080^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ \)
\( n - 2 = 1080^\circ : 180^\circ \)
\( n - 2 = 6 \)
\( n = 8 \)
Одговор: Многоугао има 8 страница (осмоугао).
Тежак: Површина једнакостраничног троугла износи \( 16\sqrt{3} \text{ cm}^2 \). Израчунај дужину полупречника њему уписане кружнице (\( r \)).
1. Прво налазимо страницу \( a \) преко формуле за површину:
\( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
\( 16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) (множимо са 4 и делимо са \( \sqrt{3} \))
\( a^2 = 64 \Rightarrow a = 8 \text{ cm} \)
2. Сада рачунамо полупречник уписане кружнице \( r \):
\( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
\( r = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \)
\( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
\( 16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) (множимо са 4 и делимо са \( \sqrt{3} \))
\( a^2 = 64 \Rightarrow a = 8 \text{ cm} \)
2. Сада рачунамо полупречник уписане кружнице \( r \):
\( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
\( r = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \)
