Најважније из лекције
Шта је степен: Запис \( a^n \) представља множење броја \( a \) самим собом \( n \) пута. Број \( a \) је основа, а \( n \) је изложилац.
Специјални случајеви: \( a^1 = a \), \( 1^n = 1 \), \( 0^n = 0 \).
Негативна основа: Ако је у загради \( (-a)^n \), резултат је позитиван за парно \( n \), а негативан за непарно \( n \).
Пажња: \( (-2)^2 = 4 \), али \( -2^2 = -4 \) јер у другом случају минус не припада основи која се степенује.
Специјални случајеви: \( a^1 = a \), \( 1^n = 1 \), \( 0^n = 0 \).
Негативна основа: Ако је у загради \( (-a)^n \), резултат је позитиван за парно \( n \), а негативан за непарно \( n \).
Пажња: \( (-2)^2 = 4 \), али \( -2^2 = -4 \) јер у другом случају минус не припада основи која се степенује.
За реалан број \( a \) и природан број \( n \), \( n \)-ти степен броја \( a \) је производ у коме се као чинилац појављује искључиво број \( a \) и то тачно \( n \) пута.
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ чинилаца}} \]
У запису \( a^n \):
\( a \) се назива основа или база (број који се множи сам са собом).
\( n \) се назива изложилац или експонент (број који показује колико се пута основа појављује као чинилац).
\( a \) се назива основа или база (број који се множи сам са собом).
\( n \) се назива изложилац или експонент (број који показује колико се пута основа појављује као чинилац).
Степен \( a^2 \) назива се квадрат броја \( a \).
Степен \( a^3 \) назива се куб броја \( a \).
Степен \( a^3 \) назива се куб броја \( a \).
\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \) (основа је 3, изложилац је 4)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \)
Запиши производ у облику степена, а затим одреди основу и изложилац: \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \).
Производ записан у облику степена је \( (\sqrt{5})^6 \).
Основа је \( \sqrt{5} \).
Изложилац је 6.
Основа је \( \sqrt{5} \).
Изложилац је 6.
За сваки реалан број \( a \) важи: \( a^1 = a \).
За сваки природан број \( n \) важи: \( 1^n = 1 \) и \( 0^n = 0 \).
За сваки природан број \( n \) важи: \( 1^n = 1 \) и \( 0^n = 0 \).
\( 15^1 = 15 \)
\( 1^{2023} = 1 \)
\( 0^{55} = 0 \)
\( 1^{2023} = 1 \)
\( 0^{55} = 0 \)
Степеновањем негативног броја парним изложиоцем (2, 4, 6...) добија се позитиван број.
Степеновањем негативног броја непарним изложиоцем (1, 3, 5...) добија се негативан број.
Степеновањем негативног броја непарним изложиоцем (1, 3, 5...) добија се негативан број.
При записивању степена негативног броја обавезно се користе заграде! Запис \( (-a)^n \) није исто што и \( -a^n \) када је \( n \) паран број.
Парни изложилац: \( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \)
Непарни изложилац: \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \)
Разлика у запису: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \), али \( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \)
Непарни изложилац: \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \)
Разлика у запису: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \), али \( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \)
Израчунај вредност израза: \( (-1)^4 + (-1)^5 \).
Први сабирак има паран изложилац: \( (-1)^4 = 1 \).
Други сабирак има непаран изложилац: \( (-1)^5 = -1 \).
Збир је: \( 1 + (-1) = 0 \).
Други сабирак има непаран изложилац: \( (-1)^5 = -1 \).
Збир је: \( 1 + (-1) = 0 \).
Степени се често користе за краће записивање великих бројева или за записивање броја у облику производа његових простих чинилаца.
Број 54 растављен на просте чиниоце: \( 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \).
Користећи степен, ово записујемо краће: \( 54 = 2 \cdot 3^3 \).
Користећи степен, ово записујемо краће: \( 54 = 2 \cdot 3^3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност степена:
а) \( 4^3 \)
б) \( (-5)^2 \)
а) \( 4^3 \)
б) \( (-5)^2 \)
а) \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
б) Овде је основа негативна, а изложилац паран, па ће резултат бити позитиван: \( (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25 \)
б) Овде је основа негативна, а изложилац паран, па ће резултат бити позитиван: \( (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25 \)
Средњи: Напиши број 144 као производ простих чинилаца, а затим тај производ запиши у облику степена.
Дељењем са простим бројевима добијамо:
\( 144 = 2 \cdot 72 = 2 \cdot 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \)
У облику степена: \( 144 = 2^4 \cdot 3^2 \)
\( 144 = 2 \cdot 72 = 2 \cdot 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \)
У облику степена: \( 144 = 2^4 \cdot 3^2 \)
Тежак: Израчунај вредност израза: \( -2^4 + (-2)^4 - (-3)^3 \).
Рачунамо сваки део посебно:
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \) (минус није степенован)
\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (паран изложилац)
\( (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \) (непаран изложилац)
Замењујемо у израз:
\( -16 + 16 - (-27) = 0 + 27 = 27 \)
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \) (минус није степенован)
\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (паран изложилац)
\( (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \) (непаран изложилац)
Замењујемо у израз:
\( -16 + 16 - (-27) = 0 + 27 = 27 \)
