Представи у децималном запису: а) \(\frac{2}{5}\); б) \(\frac{1}{100}\); в) \(-\frac{3}{4}\); г) \(-1\frac{1}{2}\); д) \(\frac{1}{3}\); ђ) \(\frac{7}{11}\); е) \(-\frac{7}{99}\); ж) \(-5\frac{2}{3}\).

Да бисмо рационалан број превели у децимални запис, потребно је да поделимо његов бројилац са имениоцем. Неки разломци се могу лако проширити тако да у имениоцу имају декадну јединицу (10, 100, 1000...), што нам олакшава претварање. Ако се при дељењу цифре периодично понављају, тај део (период) записујемо једном, унутар заграда. а) \( \frac{2}{5} \) Проширивање разломка Разломак можемо проширити бројем \( 2 \) како бисмо у имениоцу добили \( 10 \): \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} =...

Заокругли на две децимале и одреди апсолутну грешку добијеног приближног броја. а) \(0,1234\); б) \(0,5678\); в) \(1,4505\); г) \(1,005\); д) \(1,015\).

Правила заокругливања и апсолутна грешка Приликом заокругливања броја на две децимале, посматрамо трећу децималу (прву коју одбацујемо). Ако је она \( 0, 1, 2, 3 \) или \( 4 \), друга децимала остаје иста. Ако је већа од \( 5 \), друга децимала се повећава за \( 1 \). Ако је тачно \( 5 \), применићемо правила у зависности од цифара које следе или парности претходне цифре. Апсолутна грешка приближног броја \( r' \) у односу на тачан број \( r \) рачуна се по формули: \[ \Delta = |r - r'| \] а) Б...

Користећи калкулатор вредности датих корена заокругли на три децимале, а онда одреди апсолутну грешку добијених приближних бројева. а) \(\sqrt{19}\); б) \(\sqrt{287}\); в) \(\sqrt{1 031}\); г) \(\sqrt{11 111}\); д) \(\sqrt{12 345}\).

Да бисмо решили овај задатак, прво ћемо помоћу калкулатора одредити вредности квадратног корена за сваки број са већим бројем децимала. Након тога, заокруглићемо тај број на три децимале према правилима заокругливања. На крају, израчунаћемо апсолутну грешку по формули \( \Delta = |r - r'| \), где је \( r \) прецизнија вредност са калкулатора, а \( r' \) заокружена вредност. а) \( \sqrt{19} \) Корак 1: Израчунавање и заокругливање Помоћу калкулатора добијамо \( \sqrt{19} \approx 4,3588989... \)....

Дати су бројеви \(-\sqrt{9}\), \(-\sqrt{4}\), \(\sqrt{0}\), \(\sqrt{\frac{9}{25}}\), \(\sqrt{1}\), \(\sqrt{2,89}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{23}\), \(\sqrt{35,7}\) и \(\sqrt{1 000}\). а) Који су од датих бројева рационални? Израчунај квадрате тих бројева. б) Који су од датих бројева ираци...

Да бисмо решили овај задатак, прво ћемо испитати поткорене величине сваког броја. Број чији је квадратни корен цео број, коначан децималан број или периодичан децималан број (тј. корен рационалног броја који је потпун квадрат) јесте рационалан број. Сви остали су ирационални. а) Рационални бројеви и њихови квадрати Корак 1: Идентификација рационалних бројева Проверавамо који се корени могу тачно израчунати: \( -\sqrt{9} = -3 \) (јер је \( 3^2 = 9 \)) \( -\sqrt{4} = -2 \) (јер је \( 2^2 = 4 \))...

Дечје игралиште има облик квадрата површине \(97 \text{ m}^2\). Да ли је \(39,3 \text{ m}\) ограде довољно да се огради то игралиште?

Корак 1: Израчунавање дужине странице квадрата Познато је да је површина квадрата \( P = a^2 \), где је \( a \) дужина његове странице. Из податка да је површина игралишта \( P = 97 \text{ m}^2 \), дужину странице израчунавамо као: \[ a^2 = 97 \] \[ a = \sqrt{97} \text{ m} \] Корак 2: Процена вредности квадратног корена Број \( 97 \) није потпун квадрат. Да бисмо проценили \( \sqrt{97} \), тражимо најближе потпуне квадрате: \[ 81 < 97 < 100 \] \[ 9^2 < 97 < 10^2 \Rightarrow 9 < \sqrt{97} < 10 \...

Децимални Запис Реалног Броја. Приближна Вредност Реалног Броја

Најважније из лекције

Врсте децималних записа:
• Рационални бројеви имају коначан (\(0,25\)) или бесконачан периодичан запис (\(0,333...\)).
• Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан запис (\(\sqrt{3} \approx 1,732...\)).

Апсолутна грешка: Рачуна се као разлика између тачне и приближне вредности: \(\Delta = |r - r'|\).

Правило парне цифре (заокругљивање петице): Када се одбацује тачно 5 (без цифара иза), претходна цифра се не мења ако је парна (\(3,45 \approx 3,4\)), а повећава се за 1 ако је непарна (\(3,75 \approx 3,8\)). У свим осталим случајевима важе стандардна правила (<5 се задржава, >5 се повећава).

Сваки рационалан број (који се може записати као разломак) преводи се у децимални запис дељењем бројиоца и имениоца.

Сваки рационалан број има коначан децимални запис или бесконачан периодичан децимални запис.

Коначан запис: \(\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0,4\)
Бесконачан периодичан запис: \(\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,6666... = 0,(6)\) (цифре које се понављају чине период и пишу се у загради).

Представи број \(\frac{7}{6}\) у децималном запису.

Делимо бројилац имениоцем: \(7 : 6 = 1,1666...\)
Одговор: Децимални запис је бесконачан периодичан и записује се као \(1,1(6)\).

Сваки ирационалан број има бесконачан непериодичан децимални запис. За одређивање његових децимала користи се поступак постепеног сужавања интервала.

Пример ирационалног броја је \(\sqrt{2}\). Његов запис је \(\sqrt{2} = 1,4142135...\) и цифре се не понављају периодично.

Правила за упоређивање реалних бројева:

Сваки позитиван број већи је од сваког негативног.
Од два позитивна броја, већи је онај са већом апсолутном вредношћу.
Од два негативна броја, већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (ближи је нули).

Упореди бројеве \(-3\) и \(-\sqrt{10}\).

Прво процењујемо \(\sqrt{10}\). Пошто је \(3^2 = 9\) и \(4^2 = 16\), знамо да је \(\sqrt{10} > 3\).
Апсолутне вредности су \(|-3| = 3\) и \(|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}\).
Како је \(\sqrt{10} > 3\), код негативних бројева важи обрнуто: \(-3 > -\sqrt{10}\).

Уместо тачног реалног броја често се користи његова приближна вредност, што зависи од жељене тачности. За приближну вредност користи се знак \(\approx\).

Апсолутна грешка (\(\Delta\)) је апсолутна вредност разлике тачног броја \(r\) и његове приближне вредности \(r'\): \[ \Delta = |r - r'| \]

Ако за број \(r = 1,41421...\) узмемо приближну вредност \(r' = 1,41\), апсолутна грешка је:
\(\Delta = |1,41421... - 1,41| = 0,00421...\)

Да би грешка при узимању приближне вредности била што мања, примењују се следећа правила за одбацивање цифара:

Цифра испред ње (последња која се задржава) остаје непромењена.
Пример: \(2,371 \approx 2,37\) (одбацујемо 1).

Последња цифра која се задржава повећава се за 1.
Пример: \(2,376 \approx 2,38\) (одбацујемо 6).

Ако иза 5 има још цифара различитих од нуле, претходна цифра се повећава за 1. (Пример: \(2,3752 \approx 2,38\))
Ако иза 5 нема цифара (или су само нуле), гледа се претходна цифра:
а) ако је парна, остаје непромењена (Пример: \(2,345 \approx 2,34\)).
б) ако је непарна, повећава се за 1 (Пример: \(2,375 \approx 2,38\)).

Заокругли број \(8,265\) на две децимале.

Прва цифра која се одбацује је 5, а иза ње нема других цифара. Претходна цифра је 6, што је паран број. Према правилу, парна цифра остаје непромењена.
Одговор: \(8,26\).

Задаци за вежбање

Лак: Запиши разломак \(\frac{3}{4}\) у децималном облику и одреди да ли је запис коначан или бесконачан.

Делимо бројилац имениоцем: \(3 : 4 = 0,75\).
Одговор: Децимални запис је коначан.

Средњи: Дат је број \(r = 4,18501\). Заокругли овај број прво на две, а затим на једну децималу.

На две децимале: Задржавамо прве две децимале (4,18). Прва цифра коју одбацујемо је 5. Иза ње постоје цифре различите од нуле (01). Зато се претходна цифра (8) повећава за 1.
Резултат: \(4,19\).
На једну децималу: Задржавамо једну децималу (4,1). Прва цифра коју одбацујемо је 8, што је веће од 5. Зато се претходна цифра (1) повећава за 1.
Резултат: \(4,2\).

Тежак: Нека је тачна вредност броја \(r = 5,3246...\). Ако се овај број заокругли на две децимале и тако добије приближна вредност \(r'\), израчунај апсолутну грешку тог приближног броја у односу на дати запис.

Прво одређујемо приближну вредност \(r'\). Заокругљујемо \(5,3246...\) на две децимале. Прва цифра која се одбацује је 4 (мање од 5), па 2 остаје непромењено.
\(r' = 5,32\)
Сада рачунамо апсолутну грешку по формули \(\Delta = |r - r'|\):
\(\Delta = |5,3246... - 5,32| = 0,0046...\)
Одговор: Апсолутна грешка је \(0,0046...\)

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а) \( \frac{2}{5} \)

б) \( \frac{1}{100} \)

в) \( -\frac{3}{4} \)

г) \( -1\frac{1}{2} \)

д) \( \frac{1}{3} \)

ђ) \( \frac{7}{11} \)

е) \( -\frac{7}{99} \)

ж) \( -5\frac{2}{3} \)

Детаљно решење

а) \( \frac{2}{5} \)

Проширивање разломка

б) \( \frac{1}{100} \)

Записивање децималног броја

в) \( -\frac{3}{4} \)

Проширивање разломка

г) \( -1\frac{1}{2} \)

Претварање мешовитог броја

д) \( \frac{1}{3} \)

Дељење бројиоца имениоцем

ђ) \( \frac{7}{11} \)

Дељење бројиоца имениоцем

е) \( -\frac{7}{99} \)

Дељење бројиоца имениоцем

ж) \( -5\frac{2}{3} \)

Дељење разломљеног дела

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: