Најважније из лекције
- Квадратни корен (\( \sqrt{a} \)): представља ненегативан број чији је квадрат једнак \( a \).
- Реални бројеви (\( \mathbb{R} \)): Унија скупа рационалних (\( \mathbb{Q} \)) и ирационалних (\( I \)) бројева. Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан децимални запис (нпр. \( \sqrt{2} \)).
- Операције: У скупу \( \mathbb{R} \) множење и сабирање су комутативни и асоцијативни, а важи и дистрибутивност множења према сабирању.
- Директна пропорционалност (\( y = kx \)): Величина \( y \) се добија множењем величине \( x \) сталним коефицијентом \( k \). График је права која садржи координатни почетак.
Квадрат рационалног броја \( a \) јесте производ \( a \cdot a \). Означава се са \( a^2 \).
Квадратни корен ненегативног реалног броја \( a \), у ознаци \( \sqrt{a} \), јесте ненегативно решење једначине \( x^2 = a \).
Решити једначину \( x^2 = a \) (где је \( a > 0 \)) значи пронаћи два реална броја чији је квадрат \( a \) (позитиван и негативан), док квадратни корен \( \sqrt{a} \) представља само ненегативну вредност.
Квадрат броја 6 је \( 6^2 = 6 \cdot 6 = 36 \).
Квадратни корен броја 36 је \( \sqrt{36} = 6 \) (јер је \( 6^2 = 36 \) и \( 6 \ge 0 \)).
Решења једначине \( x^2 = 36 \) су \( x = 6 \) или \( x = -6 \).
Квадратни корен броја 36 је \( \sqrt{36} = 6 \) (јер је \( 6^2 = 36 \) и \( 6 \ge 0 \)).
Решења једначине \( x^2 = 36 \) су \( x = 6 \) или \( x = -6 \).
Израчунај вредност израза: \( \sqrt{64} + (-3)^2 \).
\( \sqrt{64} = 8 \)
\( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)
Вредност израза је \( 8 + 9 = 17 \).
\( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)
Вредност израза је \( 8 + 9 = 17 \).
Рационални бројеви (\( \mathbb{Q} \)) имају коначан или бесконачан периодичан децимални запис.
Ирационалан број (\( I \)) је реалан број који се не може записати у облику разломка \( \frac{a}{b} \) (\( a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \)). Има бесконачан непериодичан децимални запис.
Скуп реалних бројева (\( \mathbb{R} \)) представља унију скупова рационалних и ирационалних бројева: \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup I \).
Сваком реалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве, и свакој тачки бројевне праве одговара тачно један реалан број.
Апсолутна грешка приближног броја \( r' \) јесте апсолутна вредност разлике тачне вредности \( r \) и приближне вредности \( r' \), односно \( |r - r'| \).
Разврстај бројеве у скупове рационалних (\( \mathbb{Q} \)) и ирационалних (\( I \)) бројева: \( 4.25 \), \( \sqrt{3} \), \( \frac{2}{9} \), \( 0.666... \)
\( \mathbb{Q} \): \( 4.25 \) (коначан децимални запис), \( \frac{2}{9} \) (разломак), \( 0.666... \) (периодичан децимални запис).
\( I \): \( \sqrt{3} \) (корен који није цео број, бесконачан непериодичан запис).
\( I \): \( \sqrt{3} \) (корен који није цео број, бесконачан непериодичан запис).
За све реалне бројеве \( a, b, c \in \mathbb{R} \) важе следећа основна својства:
Комутативност: \( a + b = b + a \) и \( a \cdot b = b \cdot a \)
Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) и \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Неутрални елементи: \( a + 0 = a \) и \( a \cdot 1 = a \)
Супротни елемент и множење нулом: \( a + (-a) = 0 \) и \( a \cdot 0 = 0 \)
Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) и \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Неутрални елементи: \( a + 0 = a \) и \( a \cdot 1 = a \)
Супротни елемент и множење нулом: \( a + (-a) = 0 \) и \( a \cdot 0 = 0 \)
Одузимање и дељење се дефинишу преко сабирања и множења:
\( a - b = a + (-b) \)
\( a : b = a \cdot \frac{1}{b} \quad (b \neq 0) \)
\( a - b = a + (-b) \)
\( a : b = a \cdot \frac{1}{b} \quad (b \neq 0) \)
Функција директне пропорционалности је функција дата формулом \( y = kx \), где је \( k \neq 0 \) реалан број који називамо коефицијент директне пропорционалности.
Све тачке графика функције директне пропорционалности припадају правој линији која пролази кроз координатни почетак, а не поклапа се ни са једном координатном осом.
Продужена пропорција представља једнакост више од две размере (нпр. \( a : b : c = x : y : z \)).
Ако су величине \( x \) и \( y \) директно пропорционалне и за \( x = 4 \) је \( y = 12 \), одреди коефицијент пропорционалности и запиши формулу ове функције.
Полазимо од формуле \( y = kx \).
Замењујемо познате вредности: \( 12 = k \cdot 4 \).
Одатле је коефицијент \( k = 12 : 4 = 3 \).
Формула ове функције директне пропорционалности је \( y = 3x \).
Замењујемо познате вредности: \( 12 = k \cdot 4 \).
Одатле је коефицијент \( k = 12 : 4 = 3 \).
Формула ове функције директне пропорционалности је \( y = 3x \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( 5 \cdot \sqrt{81} - 4^2 \).
Прво рачунамо корен и квадрат:
\( \sqrt{81} = 9 \)
\( 4^2 = 16 \)
Затим мењамо у израз: \( 5 \cdot 9 - 16 = 45 - 16 = 29 \).
Одговор: 29
\( \sqrt{81} = 9 \)
\( 4^2 = 16 \)
Затим мењамо у израз: \( 5 \cdot 9 - 16 = 45 - 16 = 29 \).
Одговор: 29
Средњи: Израчунај апсолутну грешку која настаје када се тачна вредност броја \( r = \frac{1}{3} \) замени приближном вредношћу \( r' = 0.33 \).
Апсолутна грешка се рачуна по формули \( |r - r'| \).
Запишимо децималан број у облику разломка: \( r' = \frac{33}{100} \).
Разлика је: \( \frac{1}{3} - \frac{33}{100} = \frac{100}{300} - \frac{99}{300} = \frac{1}{300} \).
Апсолутна грешка је \( |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300} \).
Запишимо децималан број у облику разломка: \( r' = \frac{33}{100} \).
Разлика је: \( \frac{1}{3} - \frac{33}{100} = \frac{100}{300} - \frac{99}{300} = \frac{1}{300} \).
Апсолутна грешка је \( |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300} \).
Тежак: Две величине \( x \) и \( y \) су директно пропорционалне. За \( x = -3 \), вредност функције је \( y = 15 \).
а) Одреди формулу ове функције.
б) Израчунај вредност \( x \) за коју је \( y = -25 \).
а) Одреди формулу ове функције.
б) Израчунај вредност \( x \) за коју је \( y = -25 \).
а) Из \( y = kx \) следи \( 15 = k \cdot (-3) \), па је \( k = 15 : (-3) = -5 \).
Формула функције је \( y = -5x \).
б) Да бисмо нашли \( x \) када је \( y = -25 \), решавамо једначину:
\( -25 = -5x \Rightarrow x = -25 : (-5) \Rightarrow x = 5 \).
Одговор: а) \( y = -5x \); б) \( x = 5 \).
Формула функције је \( y = -5x \).
б) Да бисмо нашли \( x \) када је \( y = -25 \), решавамо једначину:
\( -25 = -5x \Rightarrow x = -25 : (-5) \Rightarrow x = 5 \).
Одговор: а) \( y = -5x \); б) \( x = 5 \).
