III.13. Квадрат Бинома

Да бисмо дате изразе представили у сређеном облику, применићемо формуле за квадрат бинома. За квадрат збира користимо формулу: \[ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \] За квадрат разлике користимо формулу: \[ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \]

а) \( (a+5)^2 \)

Примена формуле за квадрат збира

У овом изразу први члан је \( A = a \), а други члан је \( B = 5 \). Примењујемо формулу за квадрат збира: \[ (a+5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 \]

Множење и степеновање

Квадрирамо други члан и множимо чиниоце у средњем члану: \[ a^2 + 10a + 25 \]

б) \( (3-y)^2 \)

Примена формуле за квадрат разлике

Овде је први члан \( A = 3 \), а други \( B = y \). Како имамо знак минус између њих, користимо формулу за квадрат разлике: \[ (3-y)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot y + y^2 \]

Множење и степеновање

Квадрирамо број 3 и извршимо множење у средњем члану: \[ 9 - 6y + y^2 \]

в) \( (0,2+b)^2 \)

Примена формуле за квадрат збира

Први члан је \( A = 0,2 \), а други \( B = b \). Примењујемо формулу: \[ (0,2+b)^2 = 0,2^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot b + b^2 \]

Множење и степеновање децималних бројева

Када квадрирамо \( 0,2 \), множимо \( 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \). Средњи члан је \( 2 \cdot 0,2 = 0,4 \): \[ 0,04 + 0,4b + b^2 \]

г) \( \left(\frac{1}{4}x-y\right)^2 \)

Примена формуле за квадрат разлике

Први члан је \( A = \frac{1}{4}x \), а други \( B = y \). Примењујемо формулу: \[ \left(\frac{1}{4}x-y\right)^2 = \left(\frac{1}{4}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot y + y^2 \]

Множење, степеновање и скраћивање разломака

Приликом квадрирања првог члана, квадрирамо и разломак и променљиву. У средњем члану скраћујемо бројеве 2 и 4: \[ \frac{1}{16}x^2 - \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{4}_2}xy + y^2 \] Што нам на крају даје: \[ \frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}xy + y^2 \]

д) \( (6p+5t)^2 \)

Примена формуле за квадрат збира

У овом случају оба члана су мономи са коефицијентима. Први члан је \( A = 6p \), а други \( B = 5t \). \[ (6p+5t)^2 = (6p)^2 + 2 \cdot 6p \cdot 5t + (5t)^2 \]

Множење и степеновање

Обавезно квадрирамо и број (коефицијент) и слово (променљиву) код оба члана: \[ 36p^2 + 60pt + 25t^2 \]

ђ) \( \left(\frac{3a}{5}-\frac{2b}{9}\right)^2 \)

Примена формуле за квадрат разлике

Први члан је \( A = \frac{3a}{5} \), а други \( B = \frac{2b}{9} \). Примењујемо формулу за квадрат разлике: \[ \left(\frac{3a}{5}-\frac{2b}{9}\right)^2 = \left(\frac{3a}{5}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3a}{5} \cdot \frac{2b}{9} + \left(\frac{2b}{9}\right)^2 \]

Множење, степеновање и скраћивање разломака

Квадрирамо сваки део разломка појединачно. Код множења у средњем члану, прво ћемо скратити бројеве 3 и 9 како бисмо поједноставили израз: \[ \frac{9a^2}{25} - \frac{2 \cdot \cancel{3}^1 \cdot a \cdot 2b}{5 \cdot \cancel{9}_3} + \frac{4b^2}{81} \] Множимо преостале бројеве: \[ \frac{9a^2}{25} - \frac{4ab}{15} + \frac{4b^2}{81} \]

а)

\[ (a+5)^2 = a^2 + 10a + 25 \]

б)

\[ (3-y)^2 = 9 - 6y + y^2 \]

в)

\[ (0,2+b)^2 = 0,04 + 0,4b + b^2 \]

г)

\[ \left(\frac{1}{4}x-y\right)^2 = \frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}xy + y^2 \]

д)

\[ (6p+5t)^2 = 36p^2 + 60pt + 25t^2 \]

ђ)

\[ \left(\frac{3a}{5}-\frac{2b}{9}\right)^2 = \frac{9a^2}{25} - \frac{4ab}{15} + \frac{4b^2}{81} \]