Најважније из лекције
Множење полинома заснива се на правилу дистрибутивности множења према сабирању.
Моном и полином: Моном се множи са сваким чланом полинома.
Пример: \( 3x \cdot (x - 2) = 3x^2 - 6x \).
Два полинома: Сваки члан првог полинома множи се са сваким чланом другог полинома, након чега се сабирају слични мономи да би се добио сређени облик.
Пример: \( (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \).
Ако се множи више полинома, они се множе поступно (обично два по два).
Моном и полином: Моном се множи са сваким чланом полинома.
Пример: \( 3x \cdot (x - 2) = 3x^2 - 6x \).
Два полинома: Сваки члан првог полинома множи се са сваким чланом другог полинома, након чега се сабирају слични мономи да би се добио сређени облик.
Пример: \( (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \).
Ако се множи више полинома, они се множе поступно (обично два по два).
Производ монома и полинома јесте полином у сређеном облику. Добија се тако што се дати моном помножи са сваким чланом полинома.
Приликом множења користи се својство дистрибутивности множења према сабирању:
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Множење монома и тринома:
\( 2x \cdot (3a + b - 2c) = 2x \cdot 3a + 2x \cdot b + 2x \cdot (-2c) = 6xa + 2xb - 4xc \)
\( 2x \cdot (3a + b - 2c) = 2x \cdot 3a + 2x \cdot b + 2x \cdot (-2c) = 6xa + 2xb - 4xc \)
Одреди производ монома \( -3a \) и полинома \( 2a^2 + \frac{1}{3}a - 5 \).
Множимо моном са сваким чланом у загради:
\( -3a \cdot (2a^2 + \frac{1}{3}a - 5) \)
\( = -3a \cdot 2a^2 - 3a \cdot \frac{1}{3}a - 3a \cdot (-5) \)
\( = -6a^3 - a^2 + 15a \)
\( -3a \cdot (2a^2 + \frac{1}{3}a - 5) \)
\( = -3a \cdot 2a^2 - 3a \cdot \frac{1}{3}a - 3a \cdot (-5) \)
\( = -6a^3 - a^2 + 15a \)
Сређени облик производа два полинома добија се сабирањем производа сваког члана првог полинома са сваким чланом другог полинома.
Примени својство дистрибутивности (помножи сваки моном првог полинома са сваким мономом другог полинома).
Изврши множење монома.
Сабери сличне мономе како би се добио коначни полином у сређеном облику.
Пример множења два бинома:
\( (a - 2) \cdot (a - 5) \)
\( = a \cdot a + a \cdot (-5) + (-2) \cdot a + (-2) \cdot (-5) \)
\( = a^2 - 5a - 2a + 10 \)
\( = a^2 - 7a + 10 \)
\( (a - 2) \cdot (a - 5) \)
\( = a \cdot a + a \cdot (-5) + (-2) \cdot a + (-2) \cdot (-5) \)
\( = a^2 - 5a - 2a + 10 \)
\( = a^2 - 7a + 10 \)
Приликом одређивања производа обимнијих полинома, ради прегледности се може користити метода "потписивања", где се слични мономи потписују један испод другог и затим сабирају по колонама.
За множење више од два полинома примењују се својства комутативности и асоцијативности. У пракси, прво се одреди производ два полинома, а затим се добијени резултат множи следећим полиномом.
Множење три бинома:
\( P = (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \)
Прво множимо прва два бинома:
\( (x + 2) \cdot (x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 \)
Затим резултат множимо трећим биномом:
\( P = (x^2 + x - 2) \cdot (x + 3) \)
\( P = x^3 + 3x^2 + x^2 + 3x - 2x - 6 \)
\( P = x^3 + 4x^2 + x - 6 \)
\( P = (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \)
Прво множимо прва два бинома:
\( (x + 2) \cdot (x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 \)
Затим резултат множимо трећим биномом:
\( P = (x^2 + x - 2) \cdot (x + 3) \)
\( P = x^3 + 3x^2 + x^2 + 3x - 2x - 6 \)
\( P = x^3 + 4x^2 + x - 6 \)
Задаци за вежбање
Лак: Одреди производ монома и бинома, а затим среди израз: \( 4x^2 \cdot (3x - 2) \).
Множимо моном са сваким чланом бинома:
\( 4x^2 \cdot (3x - 2) = 4x^2 \cdot 3x + 4x^2 \cdot (-2) \)
\( = 12x^3 - 8x^2 \)
\( 4x^2 \cdot (3x - 2) = 4x^2 \cdot 3x + 4x^2 \cdot (-2) \)
\( = 12x^3 - 8x^2 \)
Средњи: Одреди производ два полинома и запиши резултат у сређеном облику: \( (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 1) \).
Множимо сваки члан са сваким чланом:
\( 2x \cdot (x^2 + 4x - 1) - 3 \cdot (x^2 + 4x - 1) \)
\( = (2x^3 + 8x^2 - 2x) + (-3x^2 - 12x + 3) \)
Сабирамо сличне мономе:
\( = 2x^3 + (8x^2 - 3x^2) + (-2x - 12x) + 3 \)
\( = 2x^3 + 5x^2 - 14x + 3 \)
\( 2x \cdot (x^2 + 4x - 1) - 3 \cdot (x^2 + 4x - 1) \)
\( = (2x^3 + 8x^2 - 2x) + (-3x^2 - 12x + 3) \)
Сабирамо сличне мономе:
\( = 2x^3 + (8x^2 - 3x^2) + (-2x - 12x) + 3 \)
\( = 2x^3 + 5x^2 - 14x + 3 \)
Тежак: Правоугаони базен има димензије \( (2x + 1) \) и \( x \). Око њега се налази поплочана стаза тако да су спољне димензије целог правоугаоника (базен са стазом) \( (2x + 5) \) и \( (x + 2) \). Изрази површину поплочане стазе у зависности од \( x \) као полином у сређеном облику.
Површина стазе се добија када се од укупне површине (базен + стаза) одузме површина самог базена.
Укупна површина: \( P_1 = (2x + 5) \cdot (x + 2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10 \)
Површина базена: \( P_2 = (2x + 1) \cdot x = 2x^2 + x \)
Површина стазе: \( P = P_1 - P_2 \)
\( P = (2x^2 + 9x + 10) - (2x^2 + x) \)
\( P = 2x^2 + 9x + 10 - 2x^2 - x \)
\( P = 8x + 10 \)
Укупна површина: \( P_1 = (2x + 5) \cdot (x + 2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10 \)
Површина базена: \( P_2 = (2x + 1) \cdot x = 2x^2 + x \)
Површина стазе: \( P = P_1 - P_2 \)
\( P = (2x^2 + 9x + 10) - (2x^2 + x) \)
\( P = 2x^2 + 9x + 10 - 2x^2 - x \)
\( P = 8x + 10 \)
