IV.9.4. Забавна Страна

Корак 1: Одређивање укупног броја дечака и девојчица

Из текста задатка знамо да је укупан број деце 9 и да је број дечака два пута већи од броја девојчица. Увешћемо ознаке: нека је \( d \) укупан број девојчица, а \( m \) укупан број дечака. Можемо поставити систем једначина: \[ d + m = 9 \] \[ m = 2 \cdot d \] Заменом друге једначине у прву, израчунаћемо укупан број девојчица: \[ d + 2 \cdot d = 9 \] \[ 3 \cdot d = 9 \] \[ d = 3 \] Сада када знамо да укупно има 3 девојчице, израчунаћемо укупан број дечака: \[ m = 2 \cdot 3 = 6 \]

Корак 2: Распоред девојчица по кућама

Увешћемо ознаке за број девојчица у свакој кући: \( d_P \) (плава), \( d_C \) (црвена) и \( d_Z \) (зелена). У задатку је речено да близнакиње живе у црвеној кући. То значи да у црвеној кући живе бар две девојчице, односно \( d_C \ge 2 \). Такође је речено да је број девојчица у плавој кући за један мањи од броја девојчица у црвеној кући: \[ d_P = d_C - 1 \] Пошто укупно имамо 3 девојчице, анализираћемо случај када су у црвеној кући тачно две девојчице (\( d_C = 2 \)): \[ d_P = 2 - 1 = 1 \] Како је укупан број девојчица 3, у зеленој кући их нема: \[ d_Z = 3 - (d_C + d_P) = 3 - (2 + 1) = 0 \] (Да смо претпоставили да у црвеној кући има 3 девојчице, у плавој би их било 2, што би дало укупно 5 девојчица, а знамо да их је само 3. Дакле, ово је једини могући распоред).

Корак 3: Одређивање укупног броја деце по кућама

Увешћемо ознаке за укупан број деце у кућама: \( u_P \) (плава), \( u_C \) (црвена) и \( u_Z \) (зелена). Знамо да у зеленој кући живи три пута више деце него у плавој: \[ u_Z = 3 \cdot u_P \] Укупан број деце у све три куће је 9: \[ u_P + u_C + u_Z = 9 \] Заменићемо израз за зелену кућу у ову једначину: \[ u_P + u_C + 3 \cdot u_P = 9 \] \[ 4 \cdot u_P + u_C = 9 \] Знамо да у плавој кући живи бар једно дете (једна девојчица), па је \( u_P \ge 1 \). Ако претпоставимо да је \( u_P = 1 \), добијамо: \[ 4 \cdot 1 + u_C = 9 \] \[ u_C = 9 - 4 = 5 \] Тада би у зеленој кући било: \[ u_Z = 3 \cdot 1 = 3 \] Проверавамо укупан број деце: \( 1 + 5 + 3 = 9 \), што испуњава све услове. (Ако бисмо узели \( u_P = 2 \), добили бисмо \( u_C = 1 \), што није могуће јер у црвеној кући већ имамо 2 девојчице).

Корак 4: Распоред дечака по кућама

Сада ћемо израчунати број дечака у свакој кући тако што од укупног броја деце одузмемо број девојчица у тој кући. У плавој кући: \[ m_P = u_P - d_P = 1 - 1 = 0 \] У црвеној кући: \[ m_C = u_C - d_C = 5 - 2 = 3 \] У зеленој кући: \[ m_Z = u_Z - d_Z = 3 - 0 = 3 \]

Корак 5: Табеларни приказ резултата

Све добијене податке можемо систематизовати у табели: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Полови / Куће} & \text{Плава} & \text{Црвена} & \text{Зелена} & \text{Укупно} \\ \hline \text{Девојчице} & 1 & 2 & 0 & 3 \\ \hline \text{Дечаци} & 0 & 3 & 3 & 6 \\ \hline \text{Укупно деце} & 1 & 5 & 3 & 9 \\ \hline \end{array} \]

\( d+m=9 \), \( m=2d \Rightarrow 3d=9 \Rightarrow d=3 \), \( m=6 \). Близнакиње \( \Rightarrow d_C \ge 2 \). \( d_P = d_C - 1 \Rightarrow d_C=2, d_P=1, d_Z=0 \). \( u_P+u_C+u_Z=9 \), \( u_Z=3u_P \Rightarrow 4u_P+u_C=9 \). Због \( u_P \ge 1 \) и \( u_C \ge 2 \), следи \( u_P=1, u_C=5, u_Z=3 \). \( m_P = 1-1=0 \), \( m_C = 5-2=3 \), \( m_Z = 3-0=3 \).