10. Пробни завршни испит 2022 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 15, страна 8

Корак 1: Цртеж

Нацртати мрежу правилне тростране призме: три подударна квадрата странице \( 4\text{ cm} \) поређана један поред другог у низу (бочне стране), а на горњу и доњу страницу средњег квадрата прислонити по један једнакостранични троугао странице \( 4\text{ cm} \) (основе). Означити \( a = 4\text{ cm} \) на страници троугла и \( H = 4\text{ cm} \) на бочној страници квадрата. У горњем троуглу уцртати висину \( h \) из темена на наспрамну страницу.

Корак 2: Читамо податке са мреже

Основе призме су два једнакостранична троугла странице \( a = 4\text{ cm} \). Бочне стране су три квадрата странице \( 4\text{ cm} \), па је и висина призме: \[ H = 4\text{ cm} \] Површину призме рачунамо по формули \( P = 2B + M \), где је \( B \) површина основе, а \( M \) површина омотача.

Корак 3: Рачунамо површину основе

Висина једнакостраничног троугла странице \( a \) је \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \): \[ h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = \frac{\cancel{4}^{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}_{1}} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \] Површина троугла је половина производа странице и одговарајуће висине: \[ B = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = \frac{\cancel{8}^{4}\sqrt{3}}{\cancel{2}_{1}} = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]

Корак 4: Рачунамо површину омотача

Омотач чине три подударна квадрата са страницама \( a \) и \( H \): \[ M = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48\text{ cm}^2 \]

Корак 5: Рачунамо површину призме

\[ P = 2B + M = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 48 = 8\sqrt{3} + 48 \] \[ P = (48 + 8\sqrt{3})\text{ cm}^2 \]

\( B = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2 \), \( M = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48\text{ cm}^2 \) \( P = 2B + M = 8\sqrt{3} + 48 = (48 + 8\sqrt{3})\text{ cm}^2 \)