Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2022, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 19
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
\( a \) - страница мањег шестоугла, \( 2a \) - страница већег
\( P_1 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
\( P_2 = 6 \cdot \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4a^2\sqrt{3}}{4} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4P_1 \)
\( P_3 = P_2 - P_1 = 4P_1 - P_1 = 3P_1 \)
\( 3 \cdot 150\text{ g} = 450\text{ g} \)
Одговор: четврти кружић - \( 450\text{ g} \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
Корак 1: Површина мањег шестоугла
Нека је \( a \) страница мањег шестоугла. Правилан шестоугао састоји се од \( 6 \) једнакостраничних троуглова чија је страница једнака страници шестоугла. Површина једнакостраничног троугла странице \( a \) је \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), па је површина мањег шестоугла: \[ P_1 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]Корак 2: Површина већег шестоугла
Страница већег шестоугла је \( 2a \): \[ P_2 = 6 \cdot \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4a^2\sqrt{3}}{4} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4P_1 \] Исто се види и када велики шестоугао поделимо дужима из центра ка теменима на \( 6 \) једнакостраничних троуглова странице \( 2a \), а сваки од њих дужима које спајају средишта његових страница на \( 4 \) мала једнакостранична троугла странице \( a \). Тада велики шестоугао садржи \( 6 \cdot 4 = 24 \) мала троугла, а мали шестоугао само \( 6 \). Када се страница удвостручи, површина постаје \( 4 \) пута већа.Корак 3: Површина жутог дела
Жути део је велики шестоугао без мањег: \[ P_3 = P_2 - P_1 = 4P_1 - P_1 = 3P_1 \] Жути део је \( 3 \) пута већи од браон дела.Корак 4: Количина жуте боје
Количина потрошене боје директно је пропорционална површини која се боји. За браон део је потрошено \( 150\text{ g} \), па је за \( 3 \) пута већи жути део потребно: \[ 3 \cdot 150\text{ g} = 450\text{ g} \]Корак 5: Бирамо тачан одговор
Бојимо четврти кружић - \( 450\text{ g} \).Кратак запис решења:
\( P_2 = 2^2 \cdot P_1 = 4P_1 \), \( P_2 - P_1 = 3P_1 \)
\( 3 \cdot 150 = 450\text{ g} \) (четврти кружић)
