Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2024, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 18
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 12
Нека је \( x \) цифра десетица, а \( 9 - x \) цифра јединица замишљеног броја.
Замишљени број: \( 10x + 9 - x = 9x + 9 \)
Број са замењеним цифрама: \( 10(9 - x) + x = 90 - 10x + x = 90 - 9x \)
\( 1{,}75 = \frac{\cancel{175}^7}{\cancel{100}_4} = \frac{7}{4} \)\[ \frac{9x + 9}{90 - 9x} = \frac{7}{4} \]\[ \frac{\cancel{9}(x + 1)}{\cancel{9}(10 - x)} = \frac{7}{4} \]\[ 4(x + 1) = 7(10 - x) \]\[ 4x + 4 = 70 - 7x \]\[ 4x + 7x = 70 - 4 \]\[ 11x = 66 \]\[ x = \frac{\cancel{66}^6}{\cancel{11}_1} = 6 \]Цифра јединица: \( 9 - 6 = 3 \)
Провера: \( 63 : 36 = \frac{\cancel{63}^7}{\cancel{36}_4} = 1{,}75 \)
Исидора је замислила број \( 63 \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 12
Корак 1: Уводимо променљиву
Цифру десетица замишљеног броја означимо са \( x \). Пошто је збир цифара \( 9 \), цифра јединица је \( 9 - x \). Замишљени број је: \[ 10x + (9 - x) = 9x + 9 \] Када цифре замене места, \( 9 - x \) постаје цифра десетица, а \( x \) цифра јединица: \[ 10(9 - x) + x = 90 - 10x + x = 90 - 9x \]Корак 2: Записујемо количник као разломак
Децимални број \( 1{,}75 \) записујемо као разломак и скраћујемо са \( 25 \): \[ 1{,}75 = \frac{175}{100} = \frac{\cancel{175}^7}{\cancel{100}_4} = \frac{7}{4} \]Корак 3: Састављамо једначину
Замишљени број поделимо бројем са замењеним цифрама и добијамо \( \frac{7}{4} \): \[ \frac{9x + 9}{90 - 9x} = \frac{7}{4} \] И у бројиоцу и у имениоцу издвајамо заједнички чинилац \( 9 \) и скраћујемо: \[ \frac{\cancel{9}(x + 1)}{\cancel{9}(10 - x)} = \frac{7}{4} \] \[ \frac{x + 1}{10 - x} = \frac{7}{4} \]Корак 4: Решавамо једначину
Множимо унакрсно, односно обе стране множимо са \( 4(10 - x) \): \[ 4(x + 1) = 7(10 - x) \] \[ 4x + 4 = 70 - 7x \] Непознате пребацујемо на леву, а познате на десну страну: \[ 4x + 7x = 70 - 4 \] \[ 11x = 66 \] \[ x = \frac{\cancel{66}^6}{\cancel{11}_1} = 6 \]Корак 5: Одређујемо број
Цифра десетица је \( 6 \), а цифра јединица је \( 9 - 6 = 3 \). Замишљени број је \( 63 \).Корак 6: Провера
Када цифре замене места, добијамо \( 36 \). Проверавамо количник: \[ 63 : 36 = \frac{63}{36} = \frac{\cancel{63}^7}{\cancel{36}_4} = \frac{7}{4} = 1{,}75 \] Услов је испуњен, па је Исидора замислила број \( 63 \).Кратак запис решења:
\( x \) - цифра десетица, \( 9 - x \) - цифра јединица
\( \frac{10x + 9 - x}{10(9 - x) + x} = 1{,}75 \)
\( \frac{9(x + 1)}{9(10 - x)} = \frac{7}{4} \)
\( 4x + 4 = 70 - 7x \Rightarrow 11x = 66 \Rightarrow x = 6 \), \( 9 - 6 = 3 \)
\( 63 : 36 = 1{,}75 \) - број \( 63 \)
