6. Пробни завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 13

Корак 1: Цртеж

Нацртати правилну шестострану призму са доњом основом ABCDEF и горњом основом A1B1C1D1E1F1 (бочне ивице AA1, BB1, ..., FF1 су вертикалне). Испрекидано нацртати краћу дијагоналу доње основе BD и означити је са 6 cm, дужу дијагоналу доње основе AD и дијагоналу призме AD1 означену са 8 cm. Бочну ивицу DD1 означити са H и код темена D означити прав угао у троуглу ADD1.
Нацртати посебно правилни шестоугао ABCDEF са основном ивицом a и центром O. Танким линијама нацртати дужи OB, OC и OD, тако да се виде једнакостранични троуглови OBC и OCD. Испрекидано нацртати дијагоналу BD (6 cm) која сече дуж OC у тачки S под правим углом и означити BS = SD. Дужу дијагоналу AD нацртати тако да пролази кроз O и означити AO = OD = a. Правилни шестоугао се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице \( a \) са заједничким теменом у центру \( O \).

Корак 2: Основна ивица из краће дијагонале основе

Четвороугао \( OBCD \) је ромб (све странице су му \( a \)), па му се дијагонале \( OC \) и \( BD \) секу под правим углом и полове. Зато је половина дијагонале \( BD \) висина једнакостраничног троугла \( OBC \): \[ BS = \frac{a\sqrt3}{2} \Rightarrow BD = 2 \cdot \frac{a\sqrt3}{2} = a\sqrt3 \] Пошто је \( BD = 6\text{ cm} \), добијамо: \[ a\sqrt3 = 6 \] \[ a = \frac{6}{\sqrt3} = \frac{6 \cdot \sqrt3}{\sqrt3 \cdot \sqrt3} = \frac{6\sqrt3}{3} \] \[ a = \frac{\cancel{6}^2\sqrt3}{\cancel{3}_1} = 2\sqrt3\text{ cm} \]

Корак 3: Висина призме

Дужа дијагонала основе \( AD \) пролази кроз центар \( O \), па је: \[ AD = 2a = 2 \cdot 2\sqrt3 = 4\sqrt3\text{ cm} \] Бочна ивица \( DD_1 = H \) нормална је на основу, па је троугао \( ADD_1 \) правоугли са правим углом код \( D \). Примењујемо Питагорину теорему: \[ H^2 = AD_1^2 - AD^2 = 8^2 - (4\sqrt3)^2 = 64 - 16 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \] \[ H = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \]

Корак 4: Површина основе

Основа се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице \( a \): \[ B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{6 \cdot (2\sqrt3)^2\sqrt3}{4} \] \[ B = \frac{6 \cdot 4 \cdot 3\sqrt3}{4} = \frac{6 \cdot 12\sqrt3}{4} \] \[ B = \frac{6 \cdot \cancel{12}^3\sqrt3}{\cancel{4}_1} = 18\sqrt3\text{ cm}^2 \]

Корак 5: Површина омотача

Омотач чини шест подударних правоугаоника страница \( a \) и \( H \): \[ M = 6aH = 6 \cdot 2\sqrt3 \cdot 4 = 48\sqrt3\text{ cm}^2 \]

Корак 6: Површина призме

\[ P = 2B + M = 2 \cdot 18\sqrt3 + 48\sqrt3 \] \[ P = 36\sqrt3 + 48\sqrt3 = 84\sqrt3\text{ cm}^2 \]

\( BD = a\sqrt3 = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3\text{ cm} \) \( AD = 2a = 4\sqrt3\text{ cm} \) \( H = \sqrt{8^2 - (4\sqrt3)^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \) \( B = \frac{6 \cdot 12\sqrt3}{4} = 18\sqrt3 \), \( M = 6 \cdot 2\sqrt3 \cdot 4 = 48\sqrt3 \) \( P = 2 \cdot 18\sqrt3 + 48\sqrt3 = 84\sqrt3\text{ cm}^2 \)