6. Пробни завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 12

Корак 1: Цртеж

Нацртати квадрат ABCD странице 4 m (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево); доњу страницу AB нацртати пуном линијом и котирати 4 m, а остале странице танком испрекиданом линијом. Означити центар квадрата O и средишта страница: E на AD, F на BC и G на CD. Испрекидано нацртати дуж EF, која дели квадрат на доњи правоугаоник ABFE (4 m и 2 m) и горњу половину, и дуж GO, која горњу половину дели на два квадратића EOGD и OFCG странице 2 m. Пуном линијом нацртати три полукружнице полупречника 2 m окренуте ка унутрашњости квадрата: са центром E (од A преко O до D), са центром F (од B преко O до C) и са центром G (од D преко O до C). Осенчити доњи део мурала (између дужи AB, лука AO и лука OB) и два „листа” у горњим квадратићима (између лукова DO, односно између лукова CO). У горњем левом квадратићу испрекидано нацртати тетиву DO и означити EO = ED = GD = GO = 2 m. Полукружнице имају пречник \( 4\text{ m} \), па им је полупречник \( r = 2\text{ m} \). Центри су у средиштима страница \( E \), \( F \) и \( G \), а пошто је центар квадрата \( O \) удаљен \( 2\text{ m} \) од сваког од њих, све три полукружнице пролазе кроз \( O \).

Корак 2: Површина четвртине круга

Сви лукови на слици су четвртине кружница полупречника \( 2\text{ m} \), па ће нам требати површина четвртине круга: \[ P_k = \frac{r^2\pi}{4} = \frac{2^2\pi}{4} = \frac{\cancel{4}\pi}{\cancel{4}} = \pi\text{ m}^2 \]

Корак 3: Доњи део мурала

Доњи део мурала лежи у доњој половини квадрата, правоугаонику \( ABFE \) страница \( 4\text{ m} \) и \( 2\text{ m} \): \[ P_{ABFE} = 4 \cdot 2 = 8\text{ m}^2 \] Из тог правоугаоника изостају две четвртине круга: са центром \( E \) (између \( A \) и \( O \)) и са центром \( F \) (између \( O \) и \( B \)). Зато је површина доњег дела: \[ P_1 = (8 - 2\pi)\text{ m}^2 \]

Корак 4: Један „лист”

Посматрамо лист у горњем левом квадратићу \( EOGD \). Он је ограничен луком \( DO \) кружнице са центром \( E \) и луком \( DO \) кружнице са центром \( G \). Тетива \( DO \) дели лист на два кружна одсечка. Одсечак кружнице са центром \( E \) добијамо када од четвртине круга \( EOD \) одузмемо правоугли троугао \( EOD \) са катетама \( EO = ED = 2\text{ m} \): \[ P_{\triangle EOD} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2\text{ m}^2 \] \[ P_o = (\pi - 2)\text{ m}^2 \] Исто важи и за одсечак кружнице са центром \( G \) (троугао \( GDO \) има катете \( GD = GO = 2\text{ m} \)). Лист чине два таква одсечка: \[ P_l = 2(\pi - 2) = (2\pi - 4)\text{ m}^2 \] Због симетрије, лист у горњем десном квадратићу (између \( C \) и \( O \)) има исту површину.

Корак 5: Површина мурала

Сабирамо доњи део и два листа: \[ P = P_1 + 2P_l = 8 - 2\pi + 2(2\pi - 4) \] \[ P = \cancel{8} - 2\pi + 4\pi - \cancel{8} = 2\pi\text{ m}^2 \] Ако узмемо \( \pi \approx 3{,}14 \), добијамо \( P \approx 6{,}28\text{ m}^2 \).

\( r = 2\text{ m} \), \( P_k = \frac{2^2\pi}{4} = \pi \) \( P_1 = 4 \cdot 2 - 2\pi = 8 - 2\pi \) \( P_l = 2\left(\pi - \frac{2 \cdot 2}{2}\right) = 2\pi - 4 \) \( P = 8 - 2\pi + 2(2\pi - 4) = 2\pi \approx 6{,}28\text{ m}^2 \)