Однос између страница и углова троугла

Question 1

Одреди најдужу страницу и највећи угао троугла приказаног на слици 4.1. Троуглови су нацртани у размери (без уписаних мерних бројева), па се одговор одређује посматрањем облика троугла на цртежу и применом правила да се наспрам најдуже странице налази највећи угао.

а) Троугао $ ABC $: теме \( A \...

Accepted Answer

Правило које користимо
У сваком троуглу наспрам најдуже странице налази се највећи угао, и обрнуто. Зато је довољно да на цртежу уочимо који је угао највећи (то је туп угао ако постоји), а наспрам њега лежи најдужа страница. Такође проверавамо да збир углова износи $ 180^\circ $.

а) Троугао $ ABC $
На слици 4.1 а) угао код темена $ C $ је туп (шири од правог), а углови код $ A $ и $ B $ су оштри. Дакле највећи је угао $ \gamma $ (код темена $ C $). Наспрам угла $ \gamma $ лежи с...

Question 2

Одреди најкраћу страницу и најмањи угао троугла приказаног на слици 4.2. Троуглови су нацртани у размери (углови и странице су нацртани онолико велики колики стварно јесу), а стандардно је страница $a$ наспрам угла $\alpha$, страница $b$ наспрам угла $\beta$ и страница $c$ наспрам угла \(\...

Question 3

Поређај странице троугла приказаног на слици 4.3 од најкраће до најдуже, у сваком од три случаја. (Наспрам већег угла у троуглу налази се већа страница.)

а) На троуглу су обележени углови $ 45^\circ $ (горње теме) и $ 120^\circ $ (лево теме), док је теме код десног, издуженог краја необележено....

Question 4

Упореди углове $ \alpha $ и $ \beta $ приказане на слици 4.4.

а) Троугао чија су два темена спојена страницом дужине $ 2\ \text{cm} $ (лева страна) и чија је основица такође дужине $ 2\ \text{cm} $. Угао $ \beta $ је при горњем темену (наспрам основице од $ 2\ \text{cm} $), а угао \( \a...

Question 5

Поређај странице троугла $EFG$ приказаног на слици 4.5 од најдуже до најкраће. На слици 4.5 троугао $EFG$ има унутрашњи угао код темена $E$ једнак $57^\circ$ и унутрашњи угао код темена $F$ једнак $64^\circ$. Странице су означене малим словима наспрам одговарајућих темена: $e = GF$ (на...

Question 6

Шта у табели 4.1 треба да пише уместо знака ☺? У троуглу $ ABC $ странице $ BC $, $ CA $ и $ AB $ редом се обележавају са $ a $, $ b $ и $ c $, а углови $ \angle CAB $, $ \angle ABC $ и $ \angle BCA $ редом са $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. За сваки ред попуни угао озн...

Question 7

Поређај по величини углове троугла $ ABC $ (означене редом $ \alpha=\angle CAB $, $ \beta=\angle ABC $, $ \gamma=\angle BCA $, где су наспрамне странице $ a=BC $, $ b=CA $ и $ c=AB $) ако је:
а) $ AB = 6 $ cm, $ BC = 4 $ cm и $ CA = 5 $ cm;
б) $ AB = 10 $ dm и \( BC = CA = 13 \...

Question 8

Посматрај слику 4.6. Одреди дужине $ x $, $ y $, $ z $ и $ t $.

На слици 4.6 приказана су четири правоугла троугла (сваки има један прав угао, означен тачком, и по један угао од $ 45^\circ $):

а) Први троугао има прав угао ($ 90^\circ $) у горњем темену. Две катете које се секу под пра...

Question 9

Ако један оштар угао правоуглог троугла има меру $ 45^\circ $, која су од следећих тврђења тачна?

а) Троугао је једнакокраки.
б) Троугао је једнакостранични.
в) Троугао је разностранични.
г) Катете су једнаке.

Question 10

Ако угао при врху једнакокраког троугла има меру $ 120^\circ $, која су од следећих тврђења тачна?
а) Крак је дужи од основице.
б) Основица је дужа од крака.
в) Угао на основици четири пута је мањи од угла при врху.
г) Угао при врху два пута је већи од угла на основици.

Question 11

Посматрај слику 4.7. Тачка $ S $ припада страници $ MN $ троугла $ MNP $ (лежи између $ M $ и $ N $), а из темена $ P $ повучена је дуж $ PS $. На слици је означено да су три дужи међусобно једнаке: $ MP = PS = SN $ (свака носи по једну цртицу), а угао код тачке $ S $ између дужи \...

Question 12

Поређај странице троугла $ ABC $ од најкраће до најдуже ако су дате мере његових спољашњих углова:

а) $ \alpha_1 = 120^\circ $ и $ \beta_1 = 150^\circ $;

б) $ \alpha_1 = 85^\circ $ и $ \gamma_1 = 118^\circ $;

в) $ \beta_1 = 106^\circ $ и $ \gamma_1 = 142^\circ $;

г) \( \alpha_1 = 1...

Question 13

Поређај странице троугла $ \triangle ABC $ од најдуже до најкраће ако је (ознака са индексом 1, нпр. $ \alpha_1 $, означава спољашњи угао троугла код одговарајућег темена):

а) $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta_1 = 80^\circ $;
б) $ \gamma = 75^\circ $ и $ \alpha_1 = 102^\circ $;
в) \( \bet...

Question 14

Спољашњи угао код темена $ A $ троугла $ ABC $ има меру $ 30^\circ $. Која је најдужа страница тог троугла?

Question 15

Спољашњи угао при врху једнакокраког троугла има меру $ 125^\circ $. Упореди дужине крака и основице тог троугла.

Question 16

У правоуглом троуглу $ ABC $ угао $ \gamma $ је прав, а спољашњи угао при темену $ A $ износи $ \alpha_1 = 136^\circ 15' $. Поређај странице троугла $ \triangle ABC $ од најдуже до најкраће.

Question 17

Један унутрашњи угао једнакокраког троугла има пет пута већу меру од мере одговарајућег спољашњег угла. Одреди мере унутрашњих углова тог троугла.

Question 18

У једнакокраком троуглу мера угла на основици за $18^\circ$ већа је од мере угла при врху. Одреди мере унутрашњих углова тог троугла.

Question 19

Обим једнакокраког троугла је $ 21 $ cm, а дужина крака је $ 6 $ cm. Упореди угао при врху и угао на основици тог троугла.

Question 20

Обим једнакокраког троугла је $ 50 \,\mathrm{cm} $, а дужина основице је $ 24 \,\mathrm{cm} $. Упореди угао при врху и угао на основици тог троугла.

Question 21

Посматрај слику 4.8. У троуглу $ DEF $ је $ DF = EF $ (краци $ DF $ и $ EF $ су означени једнаким цртицама). Угао при темену $ F $ (при врху) означен је са $ x $, угао при темену $ D $ износи $ 2x + 15^\circ $, а угао при темену $ E $ означен је са $ \varphi $. Израчунај меру угл...

Question 22

Поређај странице троугла $ ABC $ од најкраће до најдуже ако је $ \alpha = 100^\circ $, $ b = 25 $ cm и $ c = 3 $ dm.

Question 23

У троуглу $ ABC $ важи $ a \lt b \lt c $. Који је закључак тачан?

а) $ \beta $ је прав угао.

б) $ \beta $ је оштар угао.

в) $ \beta $ је туп угао.

Question 24

Симетрале унутрашњих углова троугла $ EFG $ секу се у тачки $ S $. Ако је $ EG > FG $, које је од следећих тврђења тачно?
а) $ SE < SF $.
б) $ SE = SF $.
в) $ SE > SF $.
г) На основу датих података није могуће упоредити дужи $ SE $ и $ SF $.

Question 25

Посматрај слику 4.9. На слици су тачке $ A $, $ B $ и $ C $ на једној правој, при чему тачка $ B $ лежи између $ A $ и $ C $, а тачка $ D $ је ван те праве, тако да су нацртане дужи $ DA $, $ DB $ и $ DC $. Важи да је $ BC = BD = AB $ (означено једнаким цртицама на дужима \( AB...

Question 26

Један од углова који одређују симетрала угла на основици и симетрала угла при врху једнакокраког троугла има меру $ 107^\circ 44' $. Упореди дужине основице и крака тог троугла.

Question 27

Дат је троугао $ ABC $ чија основица је страница $ AB $. На основици $ AB $ означене су тачке $ D $ и $ E $ (редослед тачака на основици је $ A,\ D,\ E,\ B $), а из темена $ C $ повучене су дужи $ CD $ и $ CE $. На слици 4.10 важи да је $ DA = DC $ (странице $ AD $ и $ CD $ о...

Question 28

Дат је једнакокраки троугао $ ABC $ чија је основица $ AB $, а угао при врху има меру $ 36^\circ $. Нека је тачка $ D $ пресек симетрале угла $ \angle BAC $ и странице $ BC $. Упореди дужи $ AB $ и $ CD $.

Question 29

Које је од следећих тврђења тачно за сваки једнакокраки троугао $ABC$ чији је врх тачка $C$ (па су краци $CA$ и $CB$, а основица је страница $AB$) и чија је основица дужа од крака, тј. $AB \gt CA = CB$? Угао при врху $C$ означавамо са $\gamma$, а углове на основици (при теменима \(A\...

Question 30

Дата је права $ p $ и тачка $ A $ која јој не припада. Нека је $ M $ произвољна тачка праве $ p $. Докажи да је дужина дужи $ AM $ најмања ако је тачка $ M $ подножје нормале из тачке $ A $ на праву $ p $ (у том случају дужина те дужи назива се растојање тачке $ A $ од праве \( p \...

II.6. Однос између страница и углова троугла

Изабери решење задатка:

Правило које користимо

а) Троугао \( ABC \)

б) Троугао \( DEF \)

в) Троугао \( MNP \)

Закључак

Кратак запис решења:

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста