Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Из темена \( O \) оштрог угла \( \angle pOq \) шестаром отвора \( r \) нацртамо лук који сече крак \( p \) у \( A \) и крак \( q \) у \( B \) (значи \( OA = OB \)). Затим истим (или произвољним већим од \( \tfrac{1}{2}AB \)) отвором из \( A \) и из \( B \) нацртамо два лука који се секу у тачки \( S \) унутар угла. Полуправа \( Os \) је симетрала: због \( OA=OB \), \( AS=BS \) и заједничке странице \( OS \) троуглови \( \triangle OAS \) и \( \triangle OBS \) су подударни по ставу \( ССС \), па је \( \angle pOs = \angle sOq \). За \( \angle pOq = 50^\circ \) следи \( \angle pOs=\angle sOq=25^\circ \).
Детаљно решење
Шта треба урадити
Прво лењиром нацртамо оштар угао \( \angle pOq \) (произвољан угао мањи од \( 90^\circ \); ради одређености узмимо \( \angle pOq = 50^\circ \)) са теменом \( O \) и крацима \( p \) и \( q \). Затим само шестаром и лењиром (без угломера) конструишемо његову симетралу — полуправу \( Os \) која дели угао на два једнака дела.1. корак — лук из темена
Шестар забодемо у теме \( O \) и произвољним отвором \( r \) нацртамо лук који сече крак \( p \) у тачки \( A \), а крак \( q \) у тачки \( B \). Пошто су обе тачке на истом луку из \( O \), важи \( OA = OB = r \).2. корак — лукови из \( A \) и \( B \)
Не мењајући отвор шестара (или узимајући било који отвор већи од \( \tfrac{1}{2}AB \)), забодемо шестар у \( A \) и нацртамо лук у унутрашњости угла, а затим истим отвором из \( B \) нацртамо други лук. Ова два лука секу се у једној тачки \( S \) унутар угла, при чему је \( AS = BS \).3. корак — цртање симетрале
Лењиром повучемо полуправу кроз тачке \( O \) и \( S \). Права \( Os \) је тражена симетрала угла \( \angle pOq \).Зашто је \( Os \) заиста симетрала
Посматрајмо троуглове \( \triangle OAS \) и \( \triangle OBS \). Важи: \( OA = OB \) (обе тачке на луку полупречника \( r \) из \( O \)),\( AS = BS \) (обе тачке на луковима истог отвора из \( A \) и из \( B \)),
\( OS = OS \) (заједничка страница). Дакле, троуглови су подударни по ставу \( ССС \) (странице \( O A, AS, OS \) једнаке су редом страницама \( OB, BS, OS \)). Из подударности следи једнакост одговарајућих углова код темена \( O \): \[ \angle pOs = \angle sOq. \] Према томе, полуправа \( Os \) дели угао \( \angle pOq \) на два једнака угла, што значи да је она његова симетрала. За изабрани \( \angle pOq = 50^\circ \) добија се \( \angle pOs = \angle sOq = 25^\circ \). (Напомена: пошто је тачка \( S \) добијена као пресек лукова једнаких отвора из \( A \) и \( B \), она је једнако удаљена од оба крака угла — управо то је карактеристично својство сваке тачке симетрале угла.)
Кратак запис решења:
Лук из \( O \) сече крака у \( A \) и \( B \) (\( OA=OB \)); лукови једнаког отвора из \( A \) и \( B \) секу се у \( S \); полуправа \( Os \) је симетрала угла \( \angle pOq \) (\( \angle pOs=\angle sOq \)) — доказ ставом \( ССС \).
