II.8. Конструкције неких углова

Решење: Шта треба урадити Прво лењиром нацртамо оштар угао \( \angle pOq \) (произвољан угао мањи од \( 90^\circ \); ради одређености узмимо \( \angle pOq = 50^\circ \)) са теменом \( O \) и крацима \( p \) и \( q \). Затим само шестаром и лењиром (без угломера) конструишемо његову симетралу — полуправу \( Os \) која дели угао на два једнака дела. 1. корак — лук из темена Шестар забодемо у теме \( O \) и произвољним отвором \( r \) нацртамо лук који сече крак \( p \) у тачки \( A \), а крак \( q \) у тачки \( B \). Пошто су обе тачке на истом луку из \( O \), важи \( OA = OB = r \). 2. корак — лукови из \( A \) и \( B \) Не мењајући отвор шестара (или узимајући било који отвор већи од \( \tfrac{1}{2}AB \)), забодемо шестар у \( A \) и нацртамо лук у унутрашњости угла, а затим истим отвором из \( B \) нацртамо други лук. Ова два лука секу се у једној тачки \( S \) унутар угла, при чему је \( AS = BS \). 3. корак — цртање симетрале Лењиром повучемо полуправу кроз тачке \( O \) и \( S \). Права \( Os \) је тражена симетрала угла \( \angle pOq \). Зашто је \( Os \) заиста симетрала Посматрајмо троуглове \( \triangle OAS \) и \( \triangle OBS \). Важи: \( OA = OB \) (обе тачке на луку полупречника \( r \) из \( O \)), \( AS = BS \) (обе тачке на луковима истог отвора из \( A \) и из \( B \)), \( OS = OS \) (заједничка страница). Дакле, троуглови су подударни по ставу \( ССС \) (странице \( O A, AS, OS \) једнаке су редом страницама \( OB, BS, OS \)). Из подударности следи једнакост одговарајућих углова код темена \( O \): \[ \angle pOs = \angle sOq. \] Према томе, полуправа \( Os …