Најважније из лекције
- Математички докази помоћу подударности углавном имају два корака: 1) Доказивање подударности троуглова, 2) Извођење једнакости преосталих елемената.
- Описана кружница: Центар јој се налази у пресеку симетрала страница троугла.
- Уписана кружница: Центар јој се налази у пресеку симетрала углова троугла.
- Тангентне дужи: Дужи од темена до тачке додира са уписаном кружницом рачунају се преко полуобима: \(x = s-a\), \(y = s-b\), \(z = s-c\).
Теорема је математичко тврђење које захтева доказ (детаљно образложење зашто је тврђење тачно).
Докази у којима се користе ставови подударности (СУС, УСУ, ССС, ССУ) најчешће се састоје из два дела:
Уочавамо једнакости три пара одговарајућих елемената (страница и углова) и доказујемо подударност два троугла на основу неког од ставова.
Из већ доказане подударности изводимо закључак да су и преостали одговарајући парови страница и углова једнаки, као и последице тих једнакости.
Централна симетрија: Тачка \(A_1\) је симетрична тачки \(A\) у односу на центар симетрије \(O\) ако је \(O\) средиште дужи \(AA_1\).
Ако тачке \(A\), \(B\) и \(O\) нису колинеарне и ако су \(A_1\) и \(B_1\) симетричне тачкама \(A\) и \(B\) у односу на тачку \(O\), тада важи:
1) \(AB = A_1B_1\)
2) \(AB \parallel A_1B_1\).
1) \(AB = A_1B_1\)
2) \(AB \parallel A_1B_1\).
Осна симетрија: Тачка \(A_1\) је симетрична тачки \(A\) у односу на праву \(s\) (осу) ако припада нормали из \(A\) на \(s\) и једнако је удаљена од праве \(s\) као и тачка \(A\).
Ако су тачке \(A\) и \(A_1\) симетричне у односу на осу \(s\), онда је свака тачка на оси \(s\) једнако удаљена од тачака \(A\) и \(A_1\).
Ако тачка припада симетрали дужи, она је једнако удаљена од крајева те дужи (и обрнуто).
Симетрале све три странице троугла секу се у једној тачки. Та тачка је центар описане кружнице тог троугла.
Описана кружница садржи сва три темена троугла, јер је њен центар (пресек симетрала страница) једнако удаљен од свих темена.
Ако конструишеш симетрале само две странице троугла и нађеш њихов пресек, да ли мораш да конструишеш и трећу симетралу да би нашао центар описане кружнице?
Одговор: Не. Пошто се према теореми све три симетрале страница секу у истој тачки, довољно је наћи пресек било које две симетрале. То ће уједно бити центар описане кружнице.
Ако тачка припада симетрали угла, она је једнако удаљена од правих на којима се налазе краци тог угла (и обрнуто).
Симетрале сва три угла троугла секу се у једној тачки. Та тачка је центар уписане кружнице тог троугла.
Уписана кружница додирује све три странице троугла (налази се унутар њега), а њен центар је једнако удаљен од свих страница.
Дужи које спајају теме троугла са тачкама у којима уписана кружница додирује странице тог угла називају се тангентне дужи и оне су међусобно једнаке.
Нека је \(s\) полуобим троугла: \(s = \frac{a+b+c}{2}\).
Тангентне дужи из темена \(A, B, C\) износе редом:
\[ x = s - a \] \[ y = s - b \] \[ z = s - c \]
Тангентне дужи из темена \(A, B, C\) износе редом:
\[ x = s - a \] \[ y = s - b \] \[ z = s - c \]
Ако су странице троугла \(a=7\), \(b=5\) и \(c=8\), полуобим је \(s = \frac{7+5+8}{2} = \frac{20}{2} = 10\).
Тангентне дужи из темена \(A\) су дужине \(x = 10 - 7 = 3\).
Тангентне дужи из темена \(A\) су дужине \(x = 10 - 7 = 3\).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Повежи појмове. Шта представља пресек симетрала страница, а шта пресек симетрала углова у троуглу?
- Пресек симетрала страница је центар описане кружнице.
- Пресек симетрала углова је центар уписане кружнице.
- Пресек симетрала углова је центар уписане кружнице.
Средњи ниво: Израчунај дужине тангентних дужи (\(x, y, z\)) на уписану кружницу троугла чије су странице \(a = 9\), \(b = 10\), \(c = 11\).
Прво рачунамо полуобим \(s\):
\(s = \frac{9+10+11}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
Затим примењујемо формуле за тангентне дужи:
\(x = s - a = 15 - 9 = 6\)
\(y = s - b = 15 - 10 = 5\)
\(z = s - c = 15 - 11 = 4\)
Одговор: Дужине тангентних дужи су 6, 5 и 4.
\(s = \frac{9+10+11}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
Затим примењујемо формуле за тангентне дужи:
\(x = s - a = 15 - 9 = 6\)
\(y = s - b = 15 - 10 = 5\)
\(z = s - c = 15 - 11 = 4\)
Одговор: Дужине тангентних дужи су 6, 5 и 4.
Тежи ниво: Докажи да су дијагонале паралелограма половљене својим пресеком (тј. да се секу тачно на средини), користећи ставове подударности и особину централне симетрије.
Нека је \(ABCD\) паралелограм, а \(O\) пресек дијагонала \(AC\) и \(BD\). Посматрајмо \(\Delta ABO\) и \(\Delta CDO\):
- \(AB = CD\) (наспрамне странице паралелограма су једнаке)
- \(\angle BAO = \angle DCO\) (наизменични углови на трансверзали \(AC\))
- \(\angle ABO = \angle CDO\) (наизменични углови на трансверзали \(BD\))
На основу става УСУ, следи \(\Delta ABO \cong \Delta CDO\).
Из подударности следи да је \(AO = CO\) и \(BO = DO\), што значи да је тачка \(O\) средиште дијагонала, односно паралелограм је централносиметрична фигура у односу на пресек дијагонала.
- \(AB = CD\) (наспрамне странице паралелограма су једнаке)
- \(\angle BAO = \angle DCO\) (наизменични углови на трансверзали \(AC\))
- \(\angle ABO = \angle CDO\) (наизменични углови на трансверзали \(BD\))
На основу става УСУ, следи \(\Delta ABO \cong \Delta CDO\).
Из подударности следи да је \(AO = CO\) и \(BO = DO\), што значи да је тачка \(O\) средиште дијагонала, односно паралелограм је централносиметрична фигура у односу на пресек дијагонала.
