III.10. Примена подударности троуглова

Решење: Шта знамо о једнакостраничном троуглу Једнакостранични троугао има све три странице једнаке дужине \( a \), а сви његови углови износе \( 60^\circ \). Његов обим је \[ O = a + a + a = 3a. \] Два троугла су подударна ако им се поклапају све одговарајуће странице и углови; за то нам је довољан неки од ставова подударности. Овде ћемо највише користити став ССС (три странице). а) Свака два једнакостранична троугла су подударна Ово тврђење је нетачно. Сви једнакострани троуглови имају једнаке углове \( \left( 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ \right) \), али им странице не морају бити једнаке. На пример, троугао са страницом \( a_1 = 2\,\text{cm} \) и троугао са страницом \( a_2 = 5\,\text{cm} \) оба су једнакостранична, али нису подударна јер \( a_1 \neq a_2 \). Дакле, једнакост углова сама по себи не даје подударност. б) Два једнакостранична троугла су подударна ако имају једнаке странице Ово тврђење је тачно. Ако два једнакострана троугла имају једнаке странице, значи да је дужина странице иста код оба: \( a_1 = a_2 = a \). Пошто у сваком једнакостраничном троуглу све три странице износе \( a \), сва три пара одговарајућих страница су једнака. По ставу подударности ССС (три странице), троуглови су подударни. в) Два једнакостранична троугла су подударна ако имају једнаке обиме Ово тврђење је тачно. Нека су обими једнаки: \[ O_1 = O_2 \quad\Rightarrow\quad 3a_1 = 3a_2. \] Делењем са \( 3 \) добијамо \( a_1 = a_2 \), тј. троуглови имају једнаке странице. Тиме смо се вратили на случај под б): сва три пара страница су једнака, па су троуглови подударни по ставу ССС. Закључак Нетачн…