III.11. Описана кружница троугла

Решење: Шта је симетрала дужи Симетрала дужи \( AB \) је права која истовремено испуњава два услова: 1) нормална је на дуж \( AB \) (гради са њом прав угао, \( 90^\circ \)); и 2) пролази кроз средиште дужи \( AB \) (тачку која дели дуж на два једнака дела). Ако макар један од ова два услова није испуњен, права није симетрала дужи. Подсетимо се и зашто: симетрала дужи је скуп свих тачака које су подједнако удаљене од крајева \( A \) и \( B \). Таква права мора проћи кроз средиште (које је очигледно једнако удаљено од \( A \) и \( B \)) и мора бити управна на \( AB \). а) Права \( p \) (леви цртеж) На левом цртежу права \( p \) сече дуж \( AB \), али на пресеку нема ознаке правог угла — угао између праве \( p \) и дужи \( AB \) је кос (приближно \( 71^\circ \)), дакле различит од \( 90^\circ \). Пошто права \( p \) није нормална на дуж \( AB \), први услов није испуњен, па права \( p \) није симетрала дужи \( AB \) (без обзира кроз коју тачку дужи пролази). б) Права \( q \) (десни цртеж) На десном цртежу на пресеку праве \( q \) и дужи \( AB \) означен је прав угао, па права \( q \) јесте нормална на дуж \( AB \) (први услов је испуњен). Међутим, пресечна тачка се налази знатно ближе тачки \( A \) него тачки \( B \) (на око четвртини дужине дужи гледано од \( A \)), тј. права \( q \) не пролази кроз средиште дужи \( AB \). Због тога тачке на правој \( q \) нису подједнако удаљене од \( A \) и \( B \). Пошто други услов (пролаз кроз средиште) није испуњен, права \( q \) није симетрала дужи \( AB \). Закључак Симетрала мора бити истовремено и нормална на дуж и да пролази кроз њено с…